目录。第1章 2023年考研数学一试题 1
第2章 2023年考研数学(一)考试真题及答案解析 9
2011考研高等数学讲义 24
第3章 2011考研高等数学讲义 25
主讲：汪诚义 25
第4章实时通信程序的设计与实现 49
2010考研强化班高等数学讲义 49
主讲：汪诚义 49
第1章 2023年考研数学一试题。
2023年考研数学一试题。
一、 选择题：1~10小题，每小题4分，共40分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
1）当时，与等价的无穷小量是（ ）
a、 b、 c、 d、
2）曲线 ，渐近线的条数为（ ）
a、0b、1c、2d、3
3）如图，连续函数y=f(x)在区间[―3，―2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[―2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设f（x）= 则下列结论正确的是（ ）
ab、 cd、
4）设函数f（x）在x=0处连续，下列命题错误的是（ ）
a、若存在，则f(x)=0 b、若存在，则f(x)=0
c、若存在，则f （0）存在 d、若存在，则f （0）存在。
5）设函数f（x）在（0，+∞上具有二阶导数，且f （x）>0，令u =f(n) (n=1，2，…)则下列结论正确的是（ ）
a、若u >u ，则必收敛b、若u >u ，则必发散。
c、若u （6）设曲线l：f(x,y)=l（f(x,y)具有一阶连续偏导数)，过第ⅱ象限内的点m和第ⅳ象限点n，γ为l上从点m到点n的一段弧，则下列积分小于零的是（ ）
ab、 cd、
7）设向量组α ，线性无关，则下列向量组线性相关的是（ ）
abc、α 2α ，2α ，2α d、α 2α ，2α ，2α
8）设矩阵a= ，b= ，则a与b（ ）
a、合同，且相似b、合同，但不相似。
c、不合同，但相似d、既不合同，也不相似。
9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p（0a、3p(1－pb、6p(1－p)
c、3p (1－pd、6p (1－p)
10)设随机变量（x,y）服从二维正态分布，且x与y不相关， ，分别表示x,y的概率密度，则在y=y的条件下，x的条件概率密度为（ ）
a、 b、 c、 d、
二、 填空题：11~16小题，每小题4分，共24分。
12）设为二元可微函数， ，则 =
13）二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为y
14)设曲面∑： 则 =
15)设矩阵a= ，则a 的秩为
16）在区间（0，1）中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于的概率为
三、 解答题：17~24小题，共86分。
17）（本题满分10分）
求函数在区域上的最大值和最小值。
18）（本题满分10分）
计算曲面积分。
其中σ为曲面的上侧。
19）（本题满分11分）
设函数f（x），g（x）在[a,b]上连续，在（a，b）内具有二阶导数且存在相等的最大值，f（a）=g（a），f（b）=g（b），证明：存在ξ∈（a,b），使得 .
20）（本题满分10分）
设幂级数在（－∞内收敛，其和函数满足
ⅰ）证明： ；
ⅱ）求的表达式。
21）（本题满分11分）
设线性方程组。
与方程。有公共解，求的值及所有公共解。
22）（本题满分11分）
设3阶实对称矩阵a的特征值λ =1，λ 2，λ 2，α 1，－1，1） 是a的属于λ 的一个特征向量。记b=a －4 a +e，其中e为3阶单位矩阵。
ⅰ）验证α 是矩阵b的特征向量，并求b的全部特征值的特征向量；
ⅱ）求矩阵b.
23）（本题满分11分）
设二维随机变量（x，y）的概率密度为。
ⅰ）求p；ⅱ）求z=x+y的概率密度 .
24）（本题满分11分）
设总体x的概率密度为。
其中参数θ（0<θ<1）未知。x ，x ，…x 是来自总体x的简单随机样本， 是样本均值。
ⅰ）求参数θ的矩估计是 ；
ⅱ）判断是否为的无偏估计量，并说明理由。
第2章 2023年考研数学(一)考试真题及答案解析。
实时通信系统的总体设计2011考研高等数学讲义。
2011考研高等数学讲义。
第3章 2011考研高等数学讲义。
主讲：汪诚义。
第四章常微分方程。
4.1 基本概念和一阶微分方程。
甲） 内容要点。
一、 基本概念。
1、 常微分方程和阶。
2、 解、通解和特解。
3、 初始条件。
4、 齐次线性方程和非齐次线性方程。
二、 变量可分离方程及其推广。
2、齐次方程：
三、 一阶线性方程及其推广。
四、 全微分方程及其推广（数学一）
五、 差分方程（数学三）
乙）典型例题。
例1、求的通解。解： 令
例2 求微分方程的通解。
解：此题不是一阶线性方程，但把x看作未知函数，y看作自变量，所得微分方程是一阶线性方程
例3 设的一个解，求此微分方程满足的特解。
解：将代入微分方程求出方程化为
先求出对应齐次方程根据解的结构立刻可得非齐次方程通解
再由 故所求解
例4 设内满足以下条件
1）求所满足的一阶微分方程。
2）求出的表达式。
解：（1）由。
可知所满足的一阶微分方程为。
将 于是
例5 求微分方程的通解。
解：令原方程化为。
化简为 再令
最后z再返回x,y,v也返回x,即可。
例6. 设有连续函数，满足求的表达式。
解： ，西边对求导。
得 ，即 ， 由 , 则 ， 再由。
可知 4.2 特殊的高阶微分方程。
甲）内容要点。
一、可降阶的高阶微分方程。
方程类型解法及解的表达式。通解 令
——一阶方程，设其解为 ,即 ，则原方程的通解为
令的函数，则。
把的表达式代入原方程，得 ——一阶方程，设其解为则原方程的通解为。
二、线性微分方程解的性质与结构。
我们讨论二阶线性微分方程解的性质与结构，其结论很容易地推广到更高阶的线性微分方程。
二阶齐次线性方程1）
二阶非齐次线性方程2）
1、 若为二阶齐次线性方程的两个特解，则它们的线性组合 （ 为任意常数）仍为同方程的解，特别地，当 ，也即线性无关时，则方程的通解为 。
2、 若为二阶非齐次线性方程的一个特解，而为对应的二阶齐次线性方程的通解（ 为独立的任意常数）则是此二阶非齐次线性方程的通解。
3、 设分别是
的特解，则
的特解。三、二阶常系数齐次线性方程。
为常数。特征方程
特征方程根的三种不同情形对应方程通解的三种形式。
1）当特征方程有两个不同的实根
则方程的通解为
2）当特征方程有而重根 ，则方程的通解为
3）当特征方程有共轭复根 ,则方程的通解为
四、二阶常系数非齐次线性方程。
方程 通解
其中为对应二阶常系数齐次线性方程的通解上面已经讨论。所以关键要讨论二阶常系数非齐次线性方程的一个特解如何求？
我们根据的形式，先确定特解的形式，其中包含一些待定的系数，然后代入方程确定这些系数就得到特解 ,常见的的形式和相对应地的形式如下：
1、 ,其中次多项式。
1）若0不是特征根，则令
其中为待定系数。
2）若0是特征方程的单根，则令
3）若0是特征方程的重根，则令
2、 其中次多项式， 为实常数。
1）若不是特征根，则令
2）若是特征方程单根，则令
3）若是特征方程的重根，则令
3、 或 其中次多项式， 皆为实常数。
1）若不是特征根，则令
其中 为待定系数。
为待定系数。
2）若是特征根，则令
五、欧拉方程（数学一）
其中为常数称为n阶欧拉方程，令代入方程，变为t是自变量，y是未知函数的微分方程一定是常系数齐次线性微分方程。
乙） 典型例题。
例1 求的通解。
解：令 ,原方程化为。
属于一阶线性方程。
例2 求下列微分方程的通解。
解令 ，原方程化为。当 当
例3 求的通解。
解先求相应齐次方程的通解，其特征方程为。
特征根为 ，因此齐次方程通解为。
设非齐次方程的特解为为特征根，因此设 ,代入原方程可得 ，故原方程的通解为。
例4 求方程的通解。
特征根为 ，因此齐次方程的通解为。
设非齐次方程的特解为 ,由于题目中不是特征根，因此设 ，代入原方程可得。
解联立方程得 ，因此。
故原方程的通解为。
例5 解 解：令u＝ ，则 ，原方程变为 解出
例6 设函数y＝y（x）在内具有二阶导数，且是y＝y（x）的反函数。
1） 试将x＝x（y）所满足的微分方程变换为y＝y（x）满足的微分方程；
2） 求变换后的微分方程满足初始条件y（0）＝0， 的解。
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