2023年考研数学试题（数学一）
一、选择题。
1、 曲线的拐点是（ ）
a）（1，0） （b）（2，0） （c）（3，0） （d）（4，0）
答案】【考点分析】本题考查拐点的判断。直接利用判断拐点的必要条件和第二充分条件即可。
解析】由可知分别是的。
一、二、三、四重根，故由导数与原函数之间的关系可知， ，故（3，0）是一拐点。
2、 设数列单调减少，，无界，则幂级数的收敛域为（ ）a） (1，1] （b） [1，1) （c） [0，2) （d）(0，2]
答案】【考点分析】本题考查幂级数的收敛域。主要涉及到收敛半径的计算和常数项级数收敛性的一些结论，综合性较强。
解析】无界，说明幂级数的收敛半径；
单调减少，，说明级数收敛，可知幂级数的收敛半径。
因此，幂级数的收敛半径，收敛区间为。又由于时幂级数收敛，时幂级数发散。可知收敛域为。
3、 设函数具有二阶连续导数，且，，则函数。
在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是（ ）
a） (b)
c) (d)
答案】【考点分析】本题考查二元函数取极值的条件，直接套用二元函数取极值的充分条件即可。
解析】由知，
所以，要使得函数在点(0,0)处取得极小值，仅需。
所以有。4、设，则的大小关系是( )
（a） （b） （c） （d）
答案】考点分析】本题考查定积分的性质，直接将比较定积分的大小转化为比较对应的被积函数的大小即可。
解析】时，，因此。
故选（b）5. 设为3阶矩阵，将的第二列加到第一列得矩阵，再交换的第二行与第一行得单位矩阵。记， ,则( )
a） （b） （c） （d）
答案】【考点分析】本题考查初等矩阵与初等变换的关系。直接应用相关定理的结论即可。
解析】由初等矩阵与初等变换的关系知，，所以，故选（d）
6、设是4阶矩阵，为的伴随矩阵，若是方程组的一个基础解系，则基础解系可为（ ）
a) (b) (c) (d)
答案】【考点分析】本题考查齐次线性方程组的基础解系，需要综合应用秩，伴随矩阵等方面的知识，有一定的灵活性。
解析】由的基础解系只有一个知，所以，又由知，都是的解，且的极大线生无关组就是其基础解系，又。
所以线性相关，故或为极大无关组，故应选（d）
7、设为两个分布函数，其相应的概率密度是连续函数，则必为概率密度的是( )
ab）cd）
答案】【考点分析】本题考查连续型随机变量概率密度的性质。
解析】检验概率密度的性质：；
可知为概率密度，故选（）。
8、设随机变量与相互独立，且与存在，记，，则（ ）
a) (b) (c) (d)
答案】【考点分析】本题考查随机变量数字特征的运算性质。计算时需要先对随机变量进行处理，有一定的灵活性。
解析】由于。
可知。故应选（b）
二、填空题。
9、曲线的弧长。
答案】【考点分析】本题考查曲线弧长的计算，直接代公式即可。
解析】10、微分方程满足条件的解为。
答案】考点分析】本题考查一阶线性微分方程的求解。先按一阶线性微分方程的求解步骤求出其通解，再根据定解条件，确定通解中的任意常数。
解析】原方程的通解为。
由，得，故所求解为。
11、设函数，则。
答案】考点分析】本题考查偏导数的计算。
解析】。故。
12、设是柱面方程与平面的交线，从轴正向往轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分。
答案】考点分析】本题考查第二类曲线积分的计算。首先将曲线写成参数方程的形式，再代入相应的计算公式计算即可。
解析】曲线的参数方程为，其中从到。因此。
13、若二次曲面的方程为，经正交变换化为，则
答案】考点分析】本题考查二次型在正交变换下的标准型的相关知识。题目中的条件相当于告诉了二次型的特征值，通过特征值的相关性质可以解出。
解析】本题等价于将二次型经正交变换后化为了。由正交变换的特点可知，该二次型的特征值为。
该二次型的矩阵为，可知，因此。
14、设二维随机变量服从，则。
答案】考点分析】：本题考查二维正态分布的性质。
解析】：由于，由二维正态分布的性质可知随机变量独立。因此。
由于服从，可知，则。
三、解答题。
15、（本题满分10分）求极限。
答案】考点分析】：本题考查极限的计算，属于形式的极限。计算时先按未定式的计算方法将极限式变形，再综合利用等价无穷小替换、洛必达法则等方法进行计算。
解析】：16、（本题满分9分）设，其中函数具有二阶连续偏导数，函数可导，且在处取得极值，求。
答案】考点分析】：本题综合考查偏导数的计算和二元函数取极值的条件，主要考查考生的计算能力，计算量较大。
解析】：由于在处取得极值，可知。
故。17、（本题满分10分）求方程不同实根的个数，其中为参数。
答案】时，方程只有一个实根。
时，方程有两个实根。
考点分析】：本题考查方程组根的讨论，主要用到函数单调性以及闭区间上连续函数的性质。解题时，首先通过求导数得到函数的单调区间，再在每个单调区间上检验是否满足零点存在定理的条件。
解析】：令，则，1） 当时，，在单调递减，故此时的图像与轴与只有一个交点，也即方程只有一个实根。
2） 时，在和上都有，所以在和是严格的单调递减，又，故的图像在和与轴均无交点。
3） 时，时，，在上单调增加，又知，在上只有一个实根，又或都有，在或都单调减，又，，所以在与轴无交点，在上与轴有一个交点。
综上所述：时，方程只有一个实根。
时，方程有两个实根。
18、（本题满分10分）证明：（1）对任意正整数，都有。
2）设，证明数列收敛。
考点分析】：本题考查不等式的证明和数列收敛性的证明，难度较大。（1）要证明该不等式，可以将其转化为函数不等式，再利用单调性进行证明；（2）证明收敛性时要用到单调有界收敛定理，注意应用（1）的结论。
解析】：（1）令，则原不等式可化为。
先证明：令。由于，可知在上单调递增。又由于，因此当时，。也即。
再证明：令。由于，可知在上单调递增。由于，因此当时，。也即。
因此，我们证明了。再令由于，即可得到所需证明的不等式。
2），由不等式可知：数列单调递减。
又由不等式可知：
因此数列是有界的。故由单调有界收敛定理可知：数列收敛。
19、（本题满分11分）已知函数具有二阶连续偏导数，且，，其中，计算二重积分。
答案】：考点分析】：本题考查二重积分的计算。计算中主要利用分部积分法将需要计算的积分式化为已知的积分式，出题形式较为新颖，有一定的难度。
解析】：将二重积分转化为累次积分可得。
首先考虑，注意这是是把变量看做常数的，故有。
由易知。故。
对该积分交换积分次序可得：
再考虑积分，注意这里是把变量看做常数的，故有。
因此。20、（本题满分11分）不能由。
线性表出。①求；②将由线性表出。
答案】：①考点分析】：本题考查向量的线性表出，需要用到秩以及线性方程组的相关概念，解题时注意把线性表出与线性方程组的解结合起来。
解析】：①由于不能由表示。
可知，解得。
②本题等价于求三阶矩阵使得。
可知。计算可得。
因此。21、（本题满分11分）为三阶实矩阵，，且。
1）求的特征值与特征向量（2）求。
答案】：（1）的特征值分别为1，-1，0，对应的特征向量分别为，，
考点分析】：实对称矩阵的特征值与特征向量，解题时注意应用实对称矩阵的特殊性质。
解析】：（1）
可知：1，-1均为的特征值，与分别为它们的特征向量。
可知0也是的特征值。
而0的特征向量与，正交。
设为0的特征向量。
有得。的特征值分别为1，-1，0
对应的特征向量分别为，，
其中， 故。
22. （本题满分11分）
求：（1）的分布；
（2）的分布；
答案】：（1）
考点分析】：本题考查二维离散型分布的分布律及相关数字特征的计算。其中，最主要的是第一问联合分布的计算。
解析】：（1）由于，因此。
故，因此。再由可知。
同样，由可知。
这样，我们就可以写出的联合分布如下：
2）可能的取值有，，
其中，则有。
因此，的分布律为。
故。23、（本题满分11分）设为来自正态总体的简单随机样本，其中已知，未知，和分别表示样本均值和样本方差，1）求参数的最大似然估计。
2）计算和。
答案】：（1）（2）
考点分析】：本题考查参数估计和随机变量数字特征的计算，有一定的难度。在求的最大似然估计时，最重要的是要将看作一个整体。
在求的数学期望和方差时，则需要综合应用数字特征的各种运算性质和公式，难度较大。
解析】：1）似然函数。
则。令可得的最大似然估计值，最大似然估计量。
2）由随机变量数字特征的计算公式可得。
由于，由正态分布的性质可知。因此，由的性质可知，因此，故。
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