2023年全国硕士研究生入学统一考试。
数学三试题。
一、填空题：本题共6小题，每小题4分，满分24分。 请将答案写在答题纸指定位置上。
1) 若，则。
2) 函数由关系式确定，其中函数可微，且。
则___3) 设则___
4) 二次型的秩为___
5) 设随机变量服从参数为的指数分布，则___
6) 设总体服从正态分布，总体服从正态分布，和分别是来自总体和的简单随机样本，则。
二、选择题：本题共8小题，每小题4分，满分24分。 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上。
7) 函数在下列哪个区间内有界。
（a） （b） （c） （d）
8) 设在内有定义，且， 则。
a）必是的第一类间断点 （b）必是的第二类间断点。
c）必是的连续点d）在点处的连续性与的值有关。
9) 设，则。
a）是的极值点，但不是曲线的拐点。
b）不是的极值点，但是曲线的拐点。
c）是的极值点，且是曲线的拐点。
d）不是的极值点，也不是曲线的拐点。
10) 设有以下命题：
若收敛，则收敛。
若收敛，则收敛。
若，则发散。
若收敛，则，都收敛。
则以上命题中正确的是。
a）①②b）②③c）③④d）①④
11) 设在上连续，且，则下列结论中错误的是。
a）至少存在一点，使得。
b）至少存在一点，使得。
c）至少存在一点，使得。
d）至少存在一点，使得。
12) 设n阶矩阵与等价，则必有。
a）当时， （b）当时，c）当时d）当时，13) 设n阶矩阵的伴随矩阵，若是非齐次线性方程组的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组的基础解系。
a）不存在b）仅含一个非零解向量。
c）含有两个线性无关的解向量 （d）含有三个线性无关的解向量。
14) 设随机变量服从正态分布，对给定的，数满足，若，则等于。
a） （b） （c） （d）
三、解答题：本题共9小题，满分94分。 请将解答写在答题纸指定的位置上。 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15）（本题满分8分）
求。16）（本题满分8分）
求，其中是由圆和所围成的平面区域（如图）.
17）（本题满分8分）
设在上连续，且满足，证明：.
18）（本题满分9分）
设某商品的需求函数为，其中**，为需求量。
（ⅰ）求需求量对**的弹性；
（ⅱ）推导（其中为收益），并用弹性说明**在何范围内变化时，降低**反而使收益增加。
19）（本题满分9分）
设级数的和函数为。求：
ⅰ）所满足的一阶微分方程；
（ⅱ）的表达式。
20）（本题满分13分）
设，. 试讨论当为何值时，（ⅰ不能由线性表示；
（ⅱ）可由唯一地线性表示，并求出表示式；
（ⅲ）可由线性表示，但表示式不唯一，并求出表示式。
21）（本题满分13分）
设n阶矩阵。
（ⅰ）求的特征值和特征向量；
（ⅱ）求可逆矩阵，使得为对角矩阵。
22）（本题满分13分）
设为两个随机事件，且，令
求：（ⅰ二维随机变量的概率分布；
与的相关系数；
的概率分布。
23）（本题满分13分）
设随机变量的分布函数为。
其中参数。 设为来自总体的简单随机样本。
（ⅰ）当时，求未知参数的矩估计量；
（ⅱ）当时，求未知参数的最大似然估计量；
（ⅲ）当时，求未知参数的最大似然估计量。
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