万学海文。
1． 如何理解导数与微分的关系？
导数与微分都是讨论与的关系的，所以它们之间应有内在的联系：可导与可微是等价的．
但是导数与微分是源于两个不同的实际背景：导数源于精确地计算函数的变化率，它把泛泛的平均变化率精确化到在一点的变化率，是变化率的数学抽象；微分则是源于近似计算．实际应用中的一切计算几乎都需要用到近似计算的(这也表明了微分应用的广泛性)．微分表达式， 即，表明只要知道在一点的函数值及其导数的值，就可以用的一次函数近似计算点附近的函数值， 误差是比高阶无穷小——这就可以把一个难以计算其值的函数(如超越函数), 局部近似地表达为便于计算数值的函数(一次函数)．导数与微分的运算具有双重关系：一方面表示可由计算导数来计算微分；同时也表示可用微分之比来表达导数。
把导数这么个复杂的极限表示为两个微分之比赋予了导数理论极大的灵活性；在随后的学习中也可体会到用微分反过来计算导数的便利。 正是微分与求导这种密切相关的运算关系，使得我们面临具体问题时，可以审时度势选择采用求导或求微分的手段．
2 。如何理解可导性与连续性的关系？
可导必连续，但连续未必可导。
例如，函数， 处处连续；但在时存在导数，在点处不可导。
3 。如何理解导数定义中比式的极限？
导数定义可有多种不同的表达形式，例如：
等。 导数是“比” 式的极限（不是极限的比）, 并且必是两个无穷小之比的极限， 是、或、或时的比式的极限；在求极限的过程中是不变的常量， 但是，极限过程之后得到的又是的函数，而与(或)无关， 故称为“导函数”. 再者，其中的极限变量（或）趋于零的方式不能有任何限制，必须是双边极限并通过一切中间量连续地趋于零．
例如：， 均得不到结论，前者只能说明函数在点的右导数存在，后者则是沿特定的子列趋于。
另外， 导数定义中比式的分子、分母中的极限变量必须以统一。
的形式出现．
例如，，其右端并不是函数的导数，下面的式子。
才是正确的．即．
反之，若函数在处可导，则存在且为，这里的既可以是简单的变量，也可以时复杂的中间变量；既可以是连续变量也可以是离散变量．所以，一定要区分开来，是说明导数的存在还是利用导数计算．
4 。如何理解函数在点可导和该函数曲线在点（）处切线之间关系？
函数在点可导，则函数所表示的曲线在点处切线的斜率存在，于是必有切线．但是，其否命题不成立， 即若函数在点不可导时，函数所表示的曲线在点处未必不存在切线．
例如，曲线，因为，，所以，曲线。
在处不可导，但是曲线在处有切线，只是切线斜率为无穷大．
5 。函数与其绝对值函数的导数之间有怎样的关系？
如果函数在点处可导， 利用可导必连续、极限的保号性，以及导数定义可得以下结论：
1) 若， 则在点处可导， 且。
10 当时，；
20 当时，.
2) 若， 则。
10 当时，在点处可导， 且；
20 当时， 在点处不可导。
反之， 如果函数在点处可导， 函数在点处未必可导，
例如，．6 。一元可导函数与不可导函数乘积可导性的讨论。
设，在连续，但不可导，又存在，则是在可导的充要条件．
分析：若，由定义。
反之，若存在，则必有．
用反证法，假设，则由商的求导法则知在可导，与假设矛盾．
7． 在某点存在左右导数时原函数的性质。
1）设在处存在左、右导数，若相等则在处可导；若不等，则在连续．
2）如果在内连续，，且设则在处必可导且．
若没有“在在内连续的条件”，即设，则得不到任何结论．
例如：，显然设，但，，因此极限不存在，从而在处不连续不可导．
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