《高等数学》第一章函数、极限、连续。
1.6 含参数的数列极限中常见的问题。
例1.6：，这样做对吗？
这样做是不对的，错误在于，忽视了对参数取值范围的讨论。
正确解答，当时，.
当时，注：含参数数列或函数求极限时，注意对参数进行讨论．
1.7 如果函数极限不存在，那么极限一定是无穷大吗？
答：不一定．
当（或）时的无穷大的函数，按函数极限定义来说，极限是不存在的，但是为了便于叙述函数的性态，我们也说“函数的极限是无穷大”．但极限不存在并不代表其极限是无穷大．
例1.7：函数，当时的极限不存在．
1.8 如果，那么是否有？
答：不一定．
例1.8：，则，但由于在的任一邻域的无理点均没有定义，故无法讨论在的极限．
结论：如果，且在的某一去心邻域内满足，则．反之，为无穷大，则为无穷小．
1.9 求函数在某点处极限时要注意其左右极限是否相等，求无穷大处极限要注意自变量取正无穷大和负无穷大时极限是否相等，遇到间断点求极限要注意左右极限是否相等．
例1.9：求极限。
解：，因而时极限不存在．，因而时极限不存在．
1.10 利用等价无穷小代换求极限时应注意的问题．
例1.10：求极限
解： 利用等价无穷小代换．这样计算对吗？计算的错误在于在运算过程中利用了未加证明的命题．
若，则。考察这个命题，当时，这个命题是真命题；当时，命题是假命题．
对于例1.10，因为，所以，证明的结论是错误的．正确解答：
例1.11：求。
错误解答：错误的原因在于在运算中错误的运用了等价无穷小代换：
而根据无穷小的比较的定义，当和均为0，所以不能用等价无穷小的代换．
正确解答：当时，所以，由夹逼准则知原函数极限为0．
例1.12：求极限。
解：本题切忌将用等价代换，导致结果为1．
应该为：.注意：
1）乘除运算中可以使用等价无穷小因子替换，加减运算中由于用等价无穷小替换是有条件的，故统一不用．这时，一般可以用泰勒公式来求极限．
2）注意等价无穷小的条件，即在哪一点可以用等价无穷小因子替换．
1.11 函数连续性的判断。
1）设在间断，在连续，则在间断．而在可能连续．
例如，设，，则在间断，在连续，在连续．
若设，在间断，但在均连续．
2）“在点连续”是“在点连续”的充分不必要条件．
分析：由“若，则”可得“如果，则”，因此，在点连续，则在点连续．再由上例可得，在点连续并不能推出在点连续．
3）在连续，在连续，则在连续．其余结论均不一定成立．
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