2023年考研数学三真题及答案。
一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．
．当时，用表示比高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（ ）
ab）c） （d）
详解】由高阶无穷小的定义可知（a）（b）（c）都是正确的，对于（d）可找出反例，例如当时，但而不是故应该选（d）．
2．函数的可去间断点的个数为（ ）
a）0b）1 （c）2d）3
详解】当时，所以是函数的可去间断点．
所以是函数的可去间断点．
所以所以不是函数的可去间断点．
故应该选（c）．
．设是圆域的第象限的部分，记，则（ ）
a） （b） （c） （d）
详解】由极坐标系下二重积分的计算可知。
所以，应该选（b）．
．设为正项数列，则下列选择项正确的是（ ）
a）若，则收敛；
b）若收敛，则。
c）若收敛．则存在常数，使存在。
d）若存在常数，使存在，则收敛．
详解】由正项级数的比较审敛法，可知选项（d）正确，故应选（ｄ）
此小题的（a）（b）选项想考查的交错级数收敛的莱布尼兹条件，对于选项（a），但少一条件，显然错误．而莱布尼兹条件只是交错级数收敛的充分条件，不是必要条件，选项（b）也不正确，反例自己去构造．
．设ａ，ｂ均为阶矩阵，若ａｂ＝且ｂ可逆，则。
a）矩阵c的行向量组与矩阵a的行向量组等价．
b）矩阵c的列向量组与矩阵a的列向量组等价．
c）矩阵c的行向量组与矩阵b的行向量组等价．
d）矩阵c的列向量组与矩阵b的列向量组等价．
详解】把矩阵a，c列分块如下：，由于ａｂ＝则可知，得到矩阵c的列向量组可用矩阵a的列向量组线性表示．同时由于b可逆，即，同理可知矩阵a的列向量组可用矩阵c的列向量组线性表示，所以矩阵c的列向量组与矩阵a的列向量组等价．应该选（b）．
6．矩阵与矩阵相似的充分必要条件是。
ab），为任意常数。
cd），为任意常数。
详解】注意矩阵是对角矩阵，所以矩阵a=与矩阵相似的充分必要条件是两个矩阵的特征值对应相等．
从而可知，即，为任意常数，故选择（b）．
7．设是随机变量，且，，则。
ab）cd）
详解】若，则，故选择（a）．
8．设随机变量x和y相互独立，且x和y的概率分布分别为。
则（ ）abcd）
详解】，故选择（c）．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分。 把答案填在题中横线上）
9．设曲线和在点处有切线，则 ．
详解】由条件可知．所以。
10．设函数是由方程确定，则 ．
详解】设，则，当时，，所以．
详解】12．微分方程的通解为。
详解】方程的特征方程为，两个特征根分别为，所以方程通解为，其中为任意常数．
13．设是三阶非零矩阵，为其行列式，为元素的代数余子式，且满足，则。
详解】由条件可知，其中为a的伴随矩阵，从而可知。
所以可能为或0．
但由结论可知，可知，伴随矩阵的秩只能为3，所以。
14．设随机变量x服从标准正分布，则 ．
详解】所以为．
三、解答题。
15．（本题满分10分）
当时，与是等价无穷小，求常数．
分析】主要是考查时常见函数的马克劳林展开式．
详解】当时，所以，由于与是等价无穷小，所以．
16．（本题满分10分）
设d是由曲线，直线及轴所转成的平面图形，分别是d绕轴和轴旋转一周所形成的立体的体积，若，求的值．
详解】由微元法可知。
由条件，知．
17．（本题满分10分）
设平面区域d是由曲线所围成，求．
详解】18．（本题满分10分）
设生产某产品的固定成本为6000元，可变成本为20元/件，**函数为（p是单价，单位：元，q是销量，单位：件），已知产销平衡，求：
1）该的边际利润．
2）当p=50时的边际利润，并解释其经济意义．
3）使得利润最大的定价p．
详解】1）设利润为，则，边际利润为。
2）当p=50时，q=10000，边际利润为20．
经济意义为：当p=50时，销量每增加一个，利润增加20．
3）令，得。
19．（本题满分10分）
设函数在上可导，，且，证明。
1）存在，使得。
2）对（1）中的，存在，使得．
详解】证明（1）由于，所以存在，当时，有，又由于在上连续，且，由介值定理，存在，使得。
2）函数在上可导，由拉格朗日中值定理，存在，使得．
20．（本题满分11分）
设，问当为何值时，存在矩阵c，使得，并求出所有矩阵c．
详解】显然由可知，如果c存在，则必须是2阶的方阵．设，则变形为，即得到线性方程组，要使c存在，此线性方程组必须有解，于是对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下。
所以，当时，线性方程组有解，即存在矩阵c，使得．
此时，所以方程组的通解为，也就是满足的矩阵c为。
其中为任意常数．
21．（本题满分11分）
设二次型．记．
1）证明二次型对应的矩阵为；
2）若正交且为单位向量，证明在正交变换下的标准形为．
详解】证明：（1）
所以二次型对应的矩阵为．
证明（2）设，由于。
则，所以为矩阵对应特征值的特征向量；
所以为矩阵对应特征值的特征向量；
而矩阵a的秩，所以也是矩阵的一个特征值．
故在正交变换下的标准形为．
22．（本题满分11分）
设是二维随机变量，x的边缘概率密度为，在给定的条件下，y的条件概率密度为．
1）求的联合概率密度；
2）y的的边缘概率密度．
详解】（1）的联合概率密度：
2）y的的边缘概率密度：
23．（本题满分11分）
设总体x的概率密度为，其中为为未知参数且大于零，为来自总体x的简单随机样本．
1）求的矩估计量；
2）求的极大似然估计量．
详解】（1）先求出总体的数学期望e（x）
令，得的矩估计量．
2）当时，似然函数为。
取对数，令，得，
解得的极大似然估计量为．
2023年考研数学三答案解析
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