2023年考研数学一真题与解析。
．已知，则下列正确的是。
ab）cd）
分析】这是型未定式，使用洛必达则即可．或者熟记常见无穷小的马克劳林公式则可快速解答．
详解1】，所以，即．
详解2】 因为，显然，当然有．应该选（ｄ）
2．曲面在点的切平面方程为。
ab）cd）
分析】此题考查的是空间曲面在点处的法向量及切平面的方程．其中法向量为．
详解】设，则在点点处，从而切平面方程为，即．应该选（ａ）
．设，，令，则。
分析】此题考查的是傅立叶级数的收敛性．
详解】由条件可知，为的正弦级数，所以应先把函数进行奇延拓，由收敛定理可知也是周期为２的奇函数，故，应选（ｃ）
．设，，，为四条逆时针方向的平面曲线，记，则。
分析】此题考查的是梅林公式和二重积分的计算．
详解】由格林公式，所以，；
在椭圆：上，二重积分最好使用广义极坐标计算：
故，．显然最大．故应选（ｄ）
．设ａ，ｂ均为阶矩阵，若ａｂ＝且ｂ可逆，则。
a）矩阵c的行向量组与矩阵a的行向量组等价．
b）矩阵c的列向量组与矩阵a的列向量组等价．
c）矩阵c的行向量组与矩阵b的行向量组等价．
d）矩阵c的列向量组与矩阵b的列向量组等价．
详解】把矩阵a，c列分块如下：，由于ａｂ＝则可知，得到矩阵c的列向量组可用矩阵a的列向量组线性表示．同时由于b可逆，即，同理可知矩阵a的列向量组可用矩阵c的列向量组线性表示，所以矩阵c的列向量组与矩阵a的列向量组等价．应该选（b）．
6．矩阵与矩阵相似的充分必要条件是。
ab），为任意常数。
cd），为任意常数。
详解】注意矩阵是对角矩阵，所以矩阵a=与矩阵相似的充分必要条件是两个矩阵的特征值对应相等．
从而可知，即，为任意常数，故选择（b）．
7．设是随机变量，且，，则。
ab）cd）
详解】若，则，故选择（a）．
8．随机变量，给定，常数，则。
a） （bcd）
详解】注意到，则知，从而，故应该选择（c）．
9．设函数由方程确定，则 ．
详解】当时，，利用隐函数求导法则知．
10．已知是某个二阶常系数线性微分方程三个解，则该方程的通解为。
详解】显然和是对应的二阶常系数线性齐次微分方程两个线性无关的解，由解的结构定理，该方程的通解为，其中为任意常数．
11．设为参数，则。
详解】，所以．
详解】13．设是三阶非零矩阵，为其行列式，为元素的代数余子式，且满足，则。
详解】由条件可知，其中为a的伴随矩阵，从而可知。
所以可能为或0．
但由结论可知，可知，伴随矩阵的秩只能为3，所以。
14．设随机变量y服从参数为1的指数分布，为大于零的常数，则。
详解】这是一个条件概率．，从而．
15．（本题满分10分）
计算，其中．
分析】被积函数中含有变上限积分，所以应该用分部积分法．
详解】16．（本题满分10分）
设数列满足条件：，是幂级数的和函数．
1）证明：；
2）求的表达式．
详解】1）证明：由幂级数和函数的分析性质可知，由条件可得，所以，也就有．
2）解：由于所以。
所以，解微分方程， 可得．
17．（本题满分10分）
求函数的极值．
详解】先求驻点，令。
解得，为了判断两个驻点是否为极值点，求二阶偏导数，在点处，且，所以为极小值点，极小值为．
在点处，所以不是极值点．
18．（本题满分10分）
设奇函数在上具有二阶导数，且，证明：
1）存在，使得；
2）存在，使得．
详解】证明：（1）由于为奇函数，则，由于在上具有二阶导数，由拉格朗日定理，存在，使得．
2）由于为奇函数，则为偶函数，由（1）可知存在，使得，且，令，由条件显然可知在上可导，且，由罗尔定理可知，存在，使得即．
19．（本题满分10分）
设直线l过两点，过l绕z轴旋转一周得到曲面，曲面与平面所围成的立体为．
1）求曲面的方程；
2）求立体的质心坐标．
详解】1）直线l的对称式方程为，设为曲面上的任意一点，并且其对应于直线l上的点为，由于过l绕z轴旋转一周得到曲面，所以有如下式子成立。
整理可得，，这就是曲面的方程．
2）设的质心坐标为，由对称性，显然，所以的质心坐标为．
20．（本题满分11分）
设，问当为何值时，存在矩阵c，使得，并求出所有矩阵c．
详解】显然由可知，如果c存在，则必须是2阶的方阵．设，则变形为，即得到线性方程组，要使c存在，此线性方程组必须有解，于是对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下。
所以，当时，线性方程组有解，即存在矩阵c，使得．
此时，所以方程组的通解为，也就是满足的矩阵c为。
其中为任意常数．
21．（本题满分11分）
设二次型．记．
1）证明二次型对应的矩阵为；
2）若正交且为单位向量，证明在正交变换下的标准形为．
详解】证明：（1）
所以二次型对应的矩阵为．
证明（2）设，由于。
则，所以为矩阵对应特征值的特征向量；
所以为矩阵对应特征值的特征向量；
而矩阵a的秩，所以也是矩阵的一个特征值．
故在正交变换下的标准形为．
22．（本题满分11分）
设随机变量x的概率密度函数为，令随机变量。
1）求随机变量y的分布函数；
2）求概率．
详解】（1）先求常数的取值：，从而。
设随机变量y的分布函数为，则。
当时，；当时，；
当时，．所以随机变量y的分布函数为。
所以．23．（本题满分11分）
设总体x的概率密度为，其中为为未知参数且大于零，为来自总体x的简单随机样本．
1）求的矩估计量；
2）求的极大似然估计量．
详解】（1）先求出总体的数学期望e（x）
令，得的矩估计量．
2）当时，似然函数为。
取对数，令，得，
解得的极大似然估计量为．
2023年考研数学一答案解析
2005年考研数学一真题解析。一 填空题 本题共6小题，每小题4分，满分24分。把答案填在题中横线上 1 曲线的斜渐近线方程为 分析 本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可。详解 因为a 于是所求斜渐近线方程为。2 微分方程满足的解为。分析 直接套用一阶线性微分方程的通解公式 再由初始条...
2023年考研数学一真题答案
2014年考研数学一解析。c 2 c 3 d 4 b 6 a 7 b 8 d 12 详解 由斯托克斯公式可知。其中取上侧，13 的取值范围是 14 详解 所以，由于是的无偏估计，故，15 分析 先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限 详解 16 详解 解 在方程两边同时对求导一次...
2019数学一考研真题答案解析
2012年全国硕士研究生考试数学一试题答案解析。一 选择题。1.解析 c 由为水平渐近线。由为垂直渐近线。由非垂直渐近线，选 c 2.解析 a 选 a 3.解析 b 在处可微。4.解析 d 而。5.解析 c 与成比例。与 线性相关，线性相关，选c 或。线性相关，选c 6.解析 b 7.解析 a 独立...