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2023年全国硕士研究生入学统一考试。
数学(一)试卷。
一、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分。把答案填在题中横线上)
2)微分方程的通解是。
3)设是锥面()的下侧，则。
4)点到平面的距离。
5)设矩阵，为2阶单位矩阵，矩阵满足，则。
6)设随机变量与相互独立，且均服从区间上的均匀分布，则。
二、选择题(本题共8小题，每小题4分，满分32分。 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)
7)设函数具有二阶导数，且，为自变量在处的增量，与分别为在点处对应的增量与微分，若，则。
ab)cd)
8)设为连续函数，则等于。
ab)cc)
9)若级数收敛，则级数。
a)收敛b)收敛
c)收敛d)收敛
10)设与均为可微函数，且。已知是在约束条件下的一个极值点，下列选项正确的是。
a)若，则b)若，则。
c)若，则d)若，则。
11)设均为维列向量，是矩阵，下列选项正确的是。
(a)若线性相关，则线性相关。
(b)若线性相关，则线性无关。
(c)若线性无关，则线性相关。
d)若线性无关，则线性无关。
12)设为3阶矩阵，将的第2行加到第1行得，再将的第1列的-1倍加到第2列得，记，则。abcd)
13)设为随机事件，且，则必有。
(ab) cd)
14)设随机变量服从正态分布，服从正态分布，且则。abcd)
三、解答题(本题共9小题，满分94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15)(本题满分10分)
设区域d=,计算二重积分。
16)(本题满分12分)
设数列满足。
求：(1)证明存在，并求之。
2)计算。17)(本题满分12分)
将函数展开成的幂级数。
18)(本题满分12分)
设函数满足等式。
1)验证。2)若求函数的表达式。
19)(本题满分12分)
设在上半平面内，数是有连续偏导数，且对任意的都有。
证明： 对内的任意分段光滑的有向简单闭曲线，都有。
20)(本题满分9分)
已知非齐次线性方程组。
有3个线性无关的解，1)证明方程组系数矩阵的秩。
2)求的值及方程组的通解。
21)(本题满分9分)
设3阶实对称矩阵的各行元素之和均为3,向量是线性方程组的两个解。
1)求的特征值与特征向量。
2)求正交矩阵和对角矩阵，使得。
22)(本题满分9分)
随机变量的概率密度为为二维随机变量的分布函数。
1)求的概率密度。
23)(本题满分9分)
设总体的概率密度为 ,其中是未知参数，为来自总体的简单随机样本，记为样本值中小于1的个数，求的最大似然估计。
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