2023年全国硕士研究生入学统一考试。
数学一试卷。
一、选择题(每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内．)
2) 设函数z=x(x，y)由方程确定，其中f为可微函数，且f'2≠0，则。
a) x． (b) z． (c) -x． (d) -z．
3) 设m，n是正整数，则反常积分dx出的收敛性。
a) 仅与m值有关． (b) 仅与n值有关．
c) 与m,n值都有关． (d) 与m,n值都无关．
5) 设a为m×n矩阵，b为n×m矩阵，e为m阶单位矩阵，若ab=e，则。
a) r(a)=m，r(b)= m． (b) r(a)=m，r(b)=n．
c) r(a)=n，r(b)= m． (d) r(a)=n，r(b)=n．
6) 设a为4阶实对称矩阵，且a2+a=0，若a的秩为3，则a与a相似于。
8)设f1(x)为标准正态分布的概率密度，f2(x)为[-1,3]上的均匀分布的概率密度，若为概率密度，则a，b应满足。
a) 2a+36= 4． (b)3a+2b=4． (c)a+b=1． (d) a+b=2．
二、填空题(把答案填在题中横线上．)
11) 如图1，已知曲线l的方程为y=1-|x|，x∈[-1，1]，起点是(-1，0)，终点是(1，0)，则曲线积分___
12) 设ω=，则ω力的形心坐标=__
13) 设α1=(1，2，-1，0)t，α2=(1，1，0，2)t，α3=(2，1，1，a)t，若由α1，α2，α3生成的向量空间的维数为2，则以a___
14) 设随机变量x的概率分布为，则e(x2)=_
三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
15) 求微分方程y"-3y'+2y=2xex的通解．
16) 求函数的单调区间与极值．
ⅰ)比较的大小，说明理由；
ⅱ)记。18) 求幂级数的收敛域及和函数．
19) 设p为椭球面s：x2+y2+z2-yz=1上的动点，若s在点p处的切平面与xoy面垂直，求点p的轨迹c,并计算曲面积分，其中三是椭球面s位于曲线c上方的部分。
已知线性方程组ax=b存在2个不同的解．
ⅰ)求λ，a；
ⅱ) 求方程组ax=b的通解．
已知二次型f(x1，x2，x3)=xtax在正交变换x=qy下的标准形为，且q的第三列为．
ⅰ)求矩阵a；
ⅱ)证明a+e为正定矩阵，其中e为3阶单位矩阵．
设二维随机变量(x，y)的概率密度为。
求常数a以及条件概率密度fy|x(y|x)．
设总体x的概率分布为。
其中参数θ∈(0，1)未知，以ni表示来自总体x的简单随机样本(样本容量为n)中等于i的个数(i=1，2，3)．试求常数a1，a2，a3，使为θ的无偏估计量，并求t的方差．
参考解答。一、选择题。
1) c (2) b (3) d (4) d (5) a (6) d (7) c (8) a
二、填空题。
三、解答题。
15) [分析] 直接利用二阶常系数线性微分方程的求解方法．
解：由方程y"-3y'+2y=0的特征方程λ2-3λ+2=0解得特征根λ1=1，λ2=2，所以方程y"-3y'+2y=0的通解为．
设y"-3y'+2y=2xex的特解为y*=x(ax+b)ex，则。
y*)'ax2+2ax+bx+b)ex，(y*)"ax2+4ax+bx+2a+2b)ex．
代入原方程，解得a=-1，b=-2，故特解为：y*=x(-x-2)ex，所以原方程的通解为
16) [分析] 求变限积分f(x)的一阶导数，利用其符号判断极值并求单调区间．
解：令f'(x)=0，得x=0，x=±1．
因为当x＞1时，f'(x)＞0；当0＜x＜1时，f'(x)＜0；当-1＜z＜0时，f'(x)＞0；当x＜-1时，f'(x)＜0．
所以f(x)的单调递减区间为(-∞1)，(0，1)；f(x)的单调递增区问为(-1，0)，(1，+∞极小值为f(1)=f(-1)=0，极大值为。
评注] 也可用二阶导数的符号判断极值点，此题属基本题型．
17) [分析] 对(ⅰ)比较被积函数的大小，对(ⅱ)用分部积分法计算积，再用夹逼定理求极限．
解：(ⅰ当0≤t≤1时，0≤ln(1+t)≤t，故|lnt|[ln(1+t)]n≤|lnt|tn．
评注] 若一题有多问，一定要充分利用前问提供的信息．
18) [分析] 用比值判别法确定收敛区问，进而确定收敛域；利用幂级数的逐项求导求和函数．
解：因为，所以当x2＜1,即-1＜x＜1时，原幂级数绝对收敛。
当x=±1时，级数为，由莱布尼兹判别法显然收敛，故原幂级数的收敛域为[-1,1]．
由于f(0)=0，所以。
从而幂级数的收敛域为[一1，1]，和函数为xarctan x，x∈[-1，1]．
评注] 对于缺项的幂级数，一般用比值判别法确定收敛区间；本题也可令t=x2转化为不缺项的幂级数．
19) [分析] 本题考查了空间曲线的计算与投影，第一型曲面积分的计算等多个知识点，属综合题．
解：(1) 求轨迹c．
令 f(x，y，z)=x2+y2+z2-yz-1，故动点p(x，y，z)的切平面的法向量为=．由切平面垂直xoy，得2z-y=0．
注意到p在椭球面s：x2+y2+z2-yz=1上。故所求曲线c的方程为：
2) 计算曲面积分．
因为曲线c在xoy平面的投影为，又方程x2+y2+z2-yz=1两边分别对x，y求导得。
评注] 对于第一类曲面积分注意利用曲面的方程化简被积函数表达式．
20) [分析] 本题考查方程组解的判定与通解的求法．由非齐次线性方程组存在2个不同解知对应齐次线性方程组有非零解，而日一非齐次线性方程组有无穷多解．
解：(ⅰ解法一。
由线性方程组ax=b存在2个不同解，得λ=-1，a=-2．
解法二由线性方程组ax=b有2个不同的解，知，因此方程组的系数行列式。
得λ=1或-1；而当λ=1时，，此时，ax=b无解，所以λ=-1．
由得 a=-2．
ⅱ)当λ=-1，a=-2时，21) [分析] 由二次型在正交变换下的标准形立即可得对应矩阵的特征值，由q的列向量为特征向量即得一个特征向量，再由实对称矩阵对应于不同特征值的特征向量相互正交可得另外两个线性无关的特征向量．
解：(ⅰ由于二次型在正交变换x=qy下的标准形为，可知a的特征值为λ1=λ2=1，λ3=0，且q的第3列即为a的对应于λ3=0的特征向量．
设a的对应于特征值λ1=λ2=1的特征向量为α=(x1，x2，x3)t，由实对称矩阵对应于不同特征值的特征向量相互正交，有。
tα3=0，即x1+x3=0，解得a的对应于λ1=λ2=1的线性无关且正交的两个特征向量：
1=(0，1，0)t，α2=(-1，0，1)t．
显然α1，α2与α3是正交的，且α1，α3是单位向量．单位化α2得。
ⅱ)由a的特征值为1，1，0，知a+e的特征值为2，2，1，即a+e的特征值全大于零．又a+e显然是实对称矩阵，故a+e是正定矩阵．
评注] 本题本质上是二次型化标准形的一个逆向问题．
22) [分析] 本题考查二维联合密度的性质与条件密度的计算，而求条件密度的本质还是求边缘密度．
解：由概率密度的性质有。
因为x的边缘概率密度为。
因此条件概率密度。
评注] 本题要充分地利用积分。
23) 解：由已知得 n1～b(n，1-θ)n2～b(n，θ-2)，n3～b(n，θ2)，由e(t)=θ得。
于是 所以t的方差。
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