2023年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题。
一、 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分。 把答案填在题中横线上）
1）曲线y=lnx上与直线垂直的切线方程为。
2）已知，且f(1)=0, 则f(x
3）设为正向圆周在第一象限中的部分，则曲线积分的值为。
4）欧拉方程的通解为。
5）设矩阵，矩阵b满足，其中为a的伴随矩阵，e是单位矩阵，则。
6）设随机变量x服从参数为的指数分布，则。
二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分。 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
7）把时的无穷小量，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是。
a). b) .c). d
8）设函数f(x)连续，且则存在，使得。
(a) f(x)在（0，内单调增加b）f(x)在内单调减少。
c) 对任意的有f(x)>f(0) .
d) 对任意的有f(x)>f(0
9）设为正项级数，下列结论中正确的是。
(a) 若=0，则级数收敛。
b） 若存在非零常数，使得，则级数发散。
c) 若级数收敛，则。
d) 若级数发散， 则存在非零常数，使得。
10）设f(x)为连续函数，，则等于。
(a) 2f(2). b) f(2c) –f(2d) 0
11）设a是3阶方阵，将a的第1列与第2列交换得b,再把b的第2列加到第3列得c, 则满足aq=c的可逆矩阵q为。
a) .b). c) .d) .
12）设a,b为满足ab=o的任意两个非零矩阵，则必有。
a) a的列向量组线性相关，b的行向量组线性相关。
b) a的列向量组线性相关，b的列向量组线性相关。
c) a的行向量组线性相关，b的行向量组线性相关。
d) a的行向量组线性相关，b的列向量组线性相关。
13）设随机变量x服从正态分布n(0,1)，对给定的，数满足，若，则等于。
a) .b). c). d
14）设随机变量独立同分布，且其方差为令，则。
a) covb) .
cd15）（本题满分12分）
设， 证明。
16）（本题满分11分）
某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下。
现有一质量为9000kg的飞机，着陆时的水平速度为700km/h. 经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？
注kg表示千克，km/h表示千米/小时。
17）（本题满分12分）
计算曲面积分。
其中是曲面的上侧。
18）（本题满分11分）
设有方程，其中n为正整数。 证明此方程存在惟一正实根，并证明当时，级数收敛。
19）（本题满分12分）
设z=z(x,y)是由确定的函数，求的极值点和极值。
20）（本题满分9分）
设有齐次线性方程组。
试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解。
21）（本题满分9分）
设矩阵的特征方程有一个二重根，求a的值，并讨论a是否可相似对角化。
(22)（本题满分9分）
设a,b为随机事件，且，令。
求：（）二维随机变量(x,y)的概率分布；
（）x和y的相关系数。
23）（本题满分9分）
设总体x的分布函数为。
其中未知参数为来自总体x的简单随机样本，求：
）的矩估计量；
）的最大似然估计量。
2023年数学一试题分析、详解和评注。
一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分。 把答案填在题中横线上）
1）曲线y=lnx上与直线垂直的切线方程为。
分析】 本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为1，由曲线y=lnx的导数为1可确定切点的坐标。
详解】 由，得x=1, 可见切点为，于是所求的切线方程为。
即。评注】 本题也可先设切点为，曲线y=lnx过此切点的导数为，得，由此可知所求切线方程为， 即。
本题比较简单，类似例题在一般教科书上均可找到。
2）已知，且f(1)=0, 则f(x)=
分析】 先求出的表达式，再积分即可。
详解】 令，则，于是有。
即 积分得 . 利用初始条件f(1)=0, 得c=0，故所求函数为f(x)=.
评注】 本题属基础题型，已知导函数求原函数一般用不定积分。
3）设为正向圆周在第一象限中的部分，则曲线积分的值为。
分析】 利用极坐标将曲线用参数方程表示，相应曲线积分可化为定积分。
详解】 正向圆周在第一象限中的部分，可表示为。
于是 评注】 本题也可添加直线段，使之成为封闭曲线，然后用格林公式计算，而在添加的线段上用参数法化为定积分计算即可。
4）欧拉方程的通解为。
分析】 欧拉方程的求解有固定方法，作变量代换化为常系数线性齐次微分方程即可。
详解】 令，则，代入原方程，整理得。
解此方程，得通解为
评注】 本题属基础题型，也可直接套用公式，令，则欧拉方程。
可化为 5）设矩阵，矩阵b满足，其中为a的伴随矩阵，e是单位矩阵，则 .
分析】 可先用公式进行化简。
详解】 已知等式两边同时右乘a，得。
而，于是有。
即 ，再两边取行列式，有 ，而，故所求行列式为。
评注】 先化简再计算是此类问题求解的特点，而题设含有伴随矩阵，一般均应先利用公式进行化简。
6）设随机变量x服从参数为的指数分布，则= .
分析】 已知连续型随机变量x的分布，求其满足一定条件的概率，转化为定积分计算即可。
详解】 由题设，知，于是。
评注】 本题应记住常见指数分布等的期望与方差的数字特征，而不应在考试时再去推算。
二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分。 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
7）把时的无穷小量，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是。
a). b) .c). db ]
分析】 先两两进行比较，再排出次序即可。
详解】 ，可排除(c),(d)选项，又。
可见是比低阶的无穷小量，故应选(b).
评注】 本题是无穷小量的比较问题，也可先将分别与进行比较，再确定相互的高低次序。
8）设函数f(x)连续，且则存在，使得。
(a) f(x)在（0，内单调增加。 （b）f(x)在内单调减少。
c) 对任意的有f(x)>f(0) .d) 对任意的有f(x)>f(0c ]
分析】 函数f(x)只在一点的导数大于零，一般不能推导出单调性，因此可排除(a),(b)选项，再利用导数的定义及极限的保号性进行分析即可。
详解】 由导数的定义，知，根据保号性，知存在，当时，有。
即当时，f(x)f(0). 故应选(c).
评注】 题设函数一点可导，一般均应联想到用导数的定义进行讨论。
9）设为正项级数，下列结论中正确的是。
(a) 若=0，则级数收敛。
b） 若存在非零常数，使得，则级数发散。
c) 若级数收敛，则。
e) 若级数发散， 则存在非零常数，使得b ]
分析】 对于敛散性的判定问题，若不便直接推证，往往可用反例通过排除法找到正确选项。
详解】 取，则=0，但发散，排除(a)，(d)；
又取，则级数收敛，但，排除(c), 故应选(b).
评注】 本题也可用比较判别法的极限形式，，而级数发散，因此级数也发散，故应选(b).
10）设f(x)为连续函数，，则等于。
(a) 2f(2). b) f(2c) –f(2d) 0b ]
分析】 先求导，再代入t=2求即可。关键是求导前应先交换积分次序，使得被积函数中不含有变量t.
详解】 交换积分次序，得。
于是，，从而有，故应选(b).
评注】 在应用变限的积分对变量x求导时，应注意被积函数中不能含有变量x:
否则，应先通过恒等变形、变量代换和交换积分次序等将被积函数中的变量x换到积分号外或积分线上。
11）设a是3阶方阵，将a的第1列与第2列交换得b,再把b的第2列加到第3列得c, 则满足aq=c的可逆矩阵q为。
a) .b). c) .d) .
d ]分析】 本题考查初等矩阵的的概念与性质，对a作两次初等列变换，相当于右乘两个相应的初等矩阵，而q即为此两个初等矩阵的乘积。
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