年考研数学（四）真题评注。
一、 填空题（本题共小题，每小题分，满分分。 把答案填在题中横线上）
）极限 .分析】 本题属型未定式，化为指数函数求极限即可。
详解】 评注】 对于型未定式的极限，也可直接用公式进行计算，因此本题也可这样求解：
评注】 完全类似例题见《数学复习指南》【例】和《文登数学全真模拟试卷》数学四第一大题第（）小题。
分析】 对称区间上的积分应注意利用被积函数的对称性，这里有。
详解】 评注】 本题属基本题型，主要考查对称区间上的积分性质和分布积分法。
原题见《文登数学全真模拟试卷》数学二第一题第（）小题（完全是原题，答案也一样），完全类似题见《文登数学全真模拟试卷》数学三第一大题第（）小题。
）设》，而表示全平面，则 .
分析】 本题积分区域为全平面，但只有当时，被积函数才不为零，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可。
详解】 评注】 若被积函数只在某区域内不为零，则二重积分的计算只需在积分区域与被积函数不为零的区域的公共部分上积分即可。
完全类似例题见《数学复习指南》【例】 .
）设均为三阶矩阵，是三阶单位矩阵。 已知，则。
分析】 应先化简，从中确定。
详解】 由， 知。
即有 ，可见 .
评注】 本题实质上是已知矩阵等式求逆的问题，应先分解出因式，写成逆矩阵的定义形式，从而确定() 的逆矩阵。
完全类似例题见《数学最后冲刺》【例】.
）设维向量；为阶单位矩阵，矩阵。
其中的逆矩阵为，则。
分析】 这里为阶矩阵，而为数，直接通过进行计算并注意利用乘法的结合律即可。
详解】 由题设，有。
于是有 ，即 ，解得由于< ,故。
评注】 完全类似例题见《数学复习指南》第大题第（）小题 .
）设随机变量和的相关系数为， ,则。
分析】 利用期望与相关系数的公式进行计算即可。
详解】 因为。
评注】 本题的核心是逆向思维，利用公式，而这种分析方法是文登辅导班上重点介绍过的。
二、选择题（本题共小题，每小题分，满分分。 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
）曲线。) 仅有水平渐近线仅有铅直渐近线。
) 既有铅直又有水平渐近线既有铅直又有斜渐近线。
分析】 先考虑是否有水平渐近线，若无水平渐近线应进一步考虑是否存在斜渐近线，而是否存在铅直渐近线，应看函数是否存在无定义点。
详解】 当时，极限均不存在，故不存在水平渐近线；
又因为，，所以有斜渐近线。
另外，在处无定义，且，可见为铅直渐近线。
故曲线既有铅直又有斜渐近线，应选().
评注】 本题为常规题型，完全类似例题见《数学复习指南》 【例】.
）设函数，其中在处连续，则是()在处可导的。
() 充分必要条件必要但非充分条件。
) 充分但非必要条件 . 既非充分也非必要条件。
分析】 被积函数含有绝对值，应当作分段函数看待，利用()在处左右导数定义讨论即可。
详解】 因为。
可见，()在处可导的充分必要条件是故应选().
评注】 函数表达式中含有绝对值、取极值符号()等，均应当作分段函数处理。一般地，函数在点处可导的充要条件是。
完全类似例题见《数学题型集粹与练习题集》 【例】和《考研数学大串讲》的公式。
）设可微函数()在点取得极小值，则下列结论正确的是。
()在处的导数等于零。 （在处的导数大于零。
) 在处的导数小于零。 (在处的导数不存在。
分析】 可微必有偏导数存在，再根据取极值的必要条件即可得结论。
详解】 可微函数()在点取得极小值，根据取极值的必要条件知，即在处的导数等于零， 故应选().
评注】 本题考查了偏导数的定义，在处的导数即；而在处的导数即。
评注】 本题也可用排除法分析，取，在()处可微且取得极小值，并且有，可排除故正确选项为().）设矩阵。
已知矩阵相似于，则秩()与秩()之和等于。
分析】 利用相似矩阵有相同的秩计算，秩()与秩()之和等于秩()与秩()之和。
详解】 因为矩阵相似于，于是有矩阵与矩阵相似，矩阵与矩阵相似，且相似矩阵有相同的秩，而。
秩()秩，秩()秩，可见有秩()秩() 秩()秩()，故应选().
评注】 若，则，且相似矩阵有相同的行列式、相同的秩和相同的特征值等性质。 见《数学复习指南》相似矩阵及其性质。
）对于任意二事件和。
) 若，则一定独立若，则有可能独立。
) 若，则一定独立若，则一定不独立。
分析】 本题考查独立与互斥事件之间的关系，事实上，独立与互斥事件之间没有必然的互推关系。
详解】推不出()(因此推不出一定独立，排除();若，则()，但()(是否为零不确定，因此(),也不成立，故正确选项为().
评注】 当()(时，若相互独立，则一定有，从而有。 可见，当相互独立时，往往并不是互斥的。
完全类似例题见《数学复习指南》第二大题第（）小题。
）设随机变量和都服从正态分布，且它们不相关，则。
) 与一定独立服从二维正态分布。
) 与未必独立服从一维正态分布。
分析】 本题考查正态分布的性质以及二维正态分布与一维正态分布之间的关系。只有() 服从二维正态分布时，不相关与独立才是等价的。
详解】 只有当() 服从二维正态分布时，与不相关与独立，本题仅仅已知和服从正态分布，因此，由它们不相关推不出与一定独立，排除();若和都服从正态分布且相互独立，则()服从二维正态分布，但题设并不知道是否独立，可排除();同样要求与相互独立时，才能推出服从一维正态分布，可排除().故正确选项为().
评注】 ①若与均服从正态分布且相互独立，则()服从二维正态分布。
若与均服从正态分布且相互独立，则服从一维正态分布。
若()服从二维正态分布，则与相互独立与不相关。
完全类似结论见《数学复习指南》的[注].
三 、（本题满分分）
设。试补充定义(),使得()在上连续。
详解】 由于()在上连续，因此定义，使()在上连续。
评注】 本题实质上是一求极限问题，但以这种形式表现出来，还考查了连续的概念。完全类似例题在一般教科书上都可找到，或参见《文登数学全真模拟试卷》数学三第三题。
四 、（本题满分分）
设()具有二阶连续偏导数，且满足，又，求。
分析】 本题是典型的复合函数求偏导问题：，，直接利用复合函数求偏导公式即可，注意利用。
详解】 ，故。
所以 评注】 本题考查半抽象复合函数求二阶偏导。
完全类似例题见《文登数学全真模拟试卷》数学四第六题和《数学复习指南》【例】.
五 、（本题满分分）
计算二重积分。
其中积分区域。
分析】 从被积函数与积分区域可以看出，应该利用极坐标进行计算。
详解】 作极坐标变换：，有。
令，则。记 ，则。
因此 ，评注】 本题属常规题型，明显地应该选用极坐标进行计算，在将二重积分化为定积分后，再通过换元与分步积分（均为最基础的要求），即可得出结果，综合考查了二重积分、换元积分与分步积分等多个基础知识点。
六、（本题满分分）
设》，在内的驻点为问为何值时，()最小？并求出最小值。
分析】 先由()的导数为零确定驻点()，它是关于的函数，再把此函数对求导，然后令此导数为零，得到可能极值点，进一步判定此极值为最小值即可。
详解】 由，得唯一驻点。
考察函数在》时的最小值。 令，得唯一驻点。
当时，；当时，，因此为极小值，从而是最小值。
评注】 本题属基本题型，只是函数表达式由驻点给出，求极值与最值的要求均是最基本的。
类似例题见《数学复习指南》【例】.
七、（本题满分分）
设() 是第一象限内连接点()(的一段连续曲线，()为该曲线上任意一点，点为在轴上的投影，为坐标原点。 若梯形的面积与曲边三角形的面积之和为，求()的表达式。
2024年考研数学一真题评注
2004年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题。一 填空题 本题共6小题，每小题4分，满分24分。把答案填在题中横线上 1 曲线y lnx上与直线垂直的切线方程为。2 已知，且f 1 0,则f x 3 设为正向圆周在第一象限中的部分，则曲线积分的值为。4 欧拉方程的通解为。5 设矩阵，矩阵b满足，其...
2019考研数学真题
2009年全国硕士研究生入学统一考试。数学一试题答案解析。一 选择题 解析 为等价无穷小，则。故排除。另外存在，蕴含了故排除。所以本题选a。2 a解析 本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性。两区域关于轴对称，而，即被积函数是关于的奇函数，所以 两区域关于轴对称，而，即被积函数是关于的偶函数...
2019考研数学真题
2016年考研数学真题。一 选择 1 8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的。1 设，当时，以上3个无穷小量按照从低阶到高阶拓排序是。ab cd 2 已知函数则的一个原函数是。a b c d 3 反常积分，的敛散性为。a 收敛，收敛。b 收敛，发散。c 收敛...