2023年全国硕士研究生入学统一考试。
数学(一)试卷。
一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。把答案填在题中横线上。
2)设幂级数的收敛半径为3,则幂级数的收敛区间为。
3)对数螺线在点处切线的直角坐标方程为。
4)设为三阶非零矩阵，且则。
5)袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球，今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是。
二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)
1)二元函数 ,在点处。
a)连续，偏导数存在b)连续，偏导数不存在。
c)不连续，偏导数存在d)连续，偏导数不存在。
2)设在区间上令。
则。ab)
cd) 3)设则。
a)为正常数b)为负常数
c)恒为零d)不为常数。
4)设则三条直线。
其中)交于一点的充要条件是。
a)线性相关b)线性无关。
c)秩秩d)线性相关线性无关。
5)设两个相互独立的随机变量和的方差分别为4和2,则随机变量的方差是。
a)8b)16
c)28d)44
三、(本题共3小题，每小题5分，满分15分)
(1)计算其中为平面曲线绕轴旋转一周所成的曲面与平面所围成的区域。
(2)计算曲线积分其中是曲线从轴正向往轴负向看的方向是顺时针的。
3)在某一人群中推广新技术是通过其中掌握新技术的人进行的，设该人群的总人数为在时刻已掌握新技术的人数为在任意时刻已掌握新技术的人数为将视为连续可微变量),其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例常数求。
四、(本题共2小题，第(1)小题6分，第(2)小题7分，满分13分)
(1)设直线在平面上，而平面与曲面相切于点求之值。
(2)设函数具有二阶连续导数，而满足方程求。
五、(本题满分6分)
设连续且为常数),求并讨论在处的连续性。
六、(本题满分8分)
设证明。(1)存在。
(2)级数收敛。
七、(本题共2小题，第(1)小题5分，第(2)小题6分，满分11分)
(1)设是秩为2的矩阵是齐次线性方程组的解向量，求的解空间的一个标准正交基。
(2)已知是矩阵的一个特征向量。
1)试确定参数及特征向量所对应的特征值。
2)问能否相似于对角阵？说明理由。
八、（本题满分5分）
设是阶可逆方阵，将的第行和第行对换后得到的矩阵记为。
1)证明可逆。
2)求。九、（本题满分7分）
从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设再各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是设为途中遇到红灯的次数，求随机变量的分布律、分布函数和数学期望。
十、（本题满分5分）
设总体的概率密度为。
其中是未知参数是来自总体的一个容量为的简单随机样本，分别用矩估计法和极大似然估计法求的估计量。
2023年全国硕士研究生入学统一考试。
数学(一)试卷。
一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。把答案填在题中横线上。
2)设具有二阶连续导数，则。
3)设为椭圆其周长记为则。
4)设为阶矩阵为的伴随矩阵为阶单位矩阵。若有特征值则必有特征值。
5)设平面区域由曲线及直线所围成，二维随机变量在区域上服从均匀分布，则关于的边缘概率密度在处的值为。
二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)
1)设连续，则=
ab)cd)
2)函数不可导点的个数是。
a)3b)2
c)1d)0
3)已知函数在任意点处的增量且当时是的高阶无穷小，则等于。
ab)cd)
4)设矩阵。
是满秩的，则直线与直线。
a)相交于一点b)重合。
c)平行但不重合d)异面。
5)设是两个随机事件，且则必有。
ab)cd)
三、(本题满分5分)
求直线在平面上的投影直线的方程，并求绕轴旋转一周所成曲面的方程。
四、(本题满分6分)
确定常数使在右半平面上的向量为某二元函数的梯度，并求。
五、(本题满分6分)
从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度从海平面算起)与下沉速度之间的函数关系。设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用。设仪器的质量为体积为海水密度为仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为试建立与所满足的微分方程，并求出函数关系式。
六、(本题满分7分)
计算其中为下半平面的上侧为大于零的常数。
七、(本题满分6分)
求。八、（本题满分5分）
设正向数列单调减少，且发散，试问级数是否收敛？并说明理由。
九、（本题满分6分）
设是区间上的任一非负连续函数。
1)试证存在使得在区间上以为高的矩形面积，等于在区间上以为曲边的曲边梯形面积。
2)又设在区间内可导，且证明(1)中的是唯一的。
十、（本题满分6分）
已知二次曲面方程可以经过正交变换化为椭圆柱面方程求的值和正交矩阵。
十一、（本题满分4分）
设是阶矩阵，若存在正整数使线性方程组有解向量且。
证明：向量组是线性无关的。
十二、（本题满分5分）
已知方程组。
的一个基础解析为试写出线性方程组。
的通解，并说明理由。
十三、（本题满分6分）
设两个随机变量相互独立，且都服从均值为0、方差为的正态分布，求随机变量的方差。
十四、（本题满分4分）
从正态总体中抽取容量为的样本，如果要求其样本均值位于区间内的概率不小于0.95,问样本容量至少应取多大？
附：标准正态分布表。
十五、（本题满分4分）
设某次考试的学生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生地成绩，算得平均成绩为66.5分，标准差为15分。问在显著性水平0.
05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70 分？并给出检验过程。
附：分布表。
2023年全国硕士研究生入学统一考试。
数学(一)试卷。
一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。把答案填在题中横线上)
3)的通解为。
4)设阶矩阵的元素全为1,则的个特征值是。
5)设两两相互独立的三事件和满足条件：
且已知则。二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)
1)设是连续函数是的原函数，则。
a)当是奇函数时必是偶函数 (b)当是偶函数时必是奇函数
c)当是周期函数时必是周期函数 (d)当是单调增函数时必是单调增函数。
2)设，其中是有界函数，则在处。
a)极限不存在b)极限存在，但不连续
c)连续，但不可导d)可导。
3)设，其中 ,则等于。
ab)cd)
4)设是矩阵，是矩阵，则。
a)当时，必有行列式b)当时，必有行列式。
c)当时，必有行列式d)当时，必有行列式。
5)设两个相互独立的随机变量和分别服从正态分布和，则。abcd)
三、(本题满分6分)
设是由方程和所确定的函数，其中和分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求。
四、(本题满分5分)
求其中为正的常数，为从点沿曲线到点的弧。
五、(本题满分6分)
设函数二阶可导且过曲线上任意一点作该曲线的切线及轴的垂线，上述两直线与轴所围成的三角形的面积记为，区间上以为曲线的曲边梯形面积记为，并设恒为1,求曲线的方程。
六、(本题满分7分)
论证：当时，七、(本题满分6分)
八、(本题满分7分)
设为椭球面的上半部分，点为在点处的切平面，为点到平面的距离，求。
九、(本题满分7分)
设。1)求的值。
2)试证：对任意的常数级数收敛。
十、(本题满分8分)
设矩阵其行列式又的伴随矩阵有一个特征值，属于的一个特征向量为求和的值。
十一、(本题满分6分)
设为阶实对称矩阵且正定，为实矩阵，为的转置矩阵，试证为正定矩阵的充分必要条件是的秩。
十二、(本题满分8分)
设随机变量与相互独立，下表列出了二维随机变量联合分布率及关于和关于的边缘分布率中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处。
十三、(本题满分6分)
设的概率密度为，是取自总体的简单随机样本。
1)求的矩估计量。
2)求的方差。
2023年全国硕士研究生入学统一考试。
数学(一)试卷。
一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。把答案填在题中横线上)
2)曲面在点的法线方程为。
3)微分方程的通解为。
4)已知方程组无解，则。
5)设两个相互独立的事件和都不发生的概率为，发生不发生的概率与发生不发生的概率相等，则。
二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)
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