2015考研数学一答案。
一、选择题。
1）设函数在连续，其2阶导函数的图形如下图所示，则曲线的拐点个数为（）
a）0 （b）1 (c) 2 ( d) 3
答案】c解析】拐点为正负发生变化的点。
答案】（a）
解析】答案】b
解析】4）设d是第一象限中曲线与直线围成的平面区域，函数在d上连续，则。
a）（b）c) (d)
答案】b解析】由得，
由得， 由得，
由得， 所以。
5）设矩阵，，若集合，则线性方程组有无穷多个解的充分必要条件为。
a）（b）（c）（d）
答案】d解析】
有无穷多解。
或且或。6）设二次型在正交变换下的标准形为，其中。
若，则在正交变换下的标准形为。
a）（b）（c）（d）
答案】a解析】设二次型对应的矩阵为，二次型在正交变换下的标准行为则若则故在正交变换下的标准型是：故选。
7）若为任意两个随机事件，则。
a）（b）c）（d）
答案】c解析】
故选。答案】d
解析】二、填空题。
答案】解析】
答案】分析】此题考查定积分的计算，需要用奇偶函数在对称区间上的性质化简。
解析】11）若函数由方程确定，则。
答案】12）设是由平面与三个坐标平面所围成的空间区域，则。
答案】分析】此题考查三重积分的计算，可直接计算，也可以利用轮换对称性化简后再计算。
解析】由轮换对称性，得。
其中为平面截空间区域所得的截面，其面积为。所以。
13）n阶行列式。
答案】解析】按第一行展开得。
14）设二维随机变量服从正态分布，则。
答案】解析】
且独立。三、解答题。
15）设函数，，若与在是等价无穷小，求，，值。
解析】是等价无穷小。
16）设函数在定义域上的导数大于零，若对任意的，曲线在点处的切线与直线及轴所围成的区域的面积为4，且求的表达式。
解析】如下图：
处的切线方程为：
与轴的交点为：时，，则，因此，.即满足微分方程：，解得：.
又因，所以，故。
17）已知函数，曲线，求在曲线上的最大方向导数。
详解】根据方向导数与梯度的关系可知，方向导数沿着梯度方向可取到最大值且为梯度的模。，故。
故在曲线上的最大方向导数为，其中满足，即就求函数在约束条件下的最值。
构造拉格朗日函数。
令可得。其中。
综上根据题意可知在曲线上的最大方向导数为。
18）（本题满分10分）
ⅰ）设函数可导，利用导数定义证明。
ⅱ）设函数可导，写出的求导公式。
解析】19）（本题满分10分）
已知曲线的方程为起点为，终点为，计算曲线积分。
详解】曲线的参数方程为从到。
20）（本题满分11分）
设向量组是3维向量空间的一个基，，，
ⅰ）证明向量组是的一个基；
ⅱ）当k为何值时，存在非零向量在基与基下的坐标相同，并求出所有的。
解析】（ⅰ因为，所以线性无关，是的一个基。
ⅱ）设，为从基到基的过渡矩阵，又设在基下的坐标为，则在基下的坐标为，由，得，即。
由，得，并解得为任意常数。
从而为任意常数。
21）（本题满分11分）
设矩阵相似于矩阵。
ⅰ）求的值。
ⅱ）求可逆矩阵，使得为对角阵。
解析】由相似于。
则解得。当。
特征向量。当。
则特征向量所以得。
22）（本题满分11分）
设随机变量的概率密度为。
对进行独立重复的观测，直到第2个大于3的观测值出现时停止，记为观测次数。
ⅰ）求的概率分布；
ⅱ）求。解析】
设级数。所以。
23）（本题满分11分）
设总体的概率密度为。
其中为未知参数，为来自该总体的简单随机样本。
ⅰ）求的矩估计。
ⅱ）求的最大似然估计。
解析】由题可得。
）联合概率密度。故取。
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