一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选前的字母填在答题纸指定位置上。
1)若反常积分收敛,则( )
a. 且。b. 且。
c. 且。d. 且。
答案】c解析】,而当时收敛,而此时不影响,,而当时收敛,此时不影响,因此选择c.
2)已知函数,则的一个原函数是( )
a. b.
c. d.
答案】d解析】对函数做不定积分可得原函数,,因此选择d.
3)若是微分方程的两个解,则=(
a. b.
c. d.
答案】a解析】将代入微分方程可得:
而将代入微分方程可得:
将这两个式子相加可得:
两个式子相减可得:
因此可得。故选择a.
4)已知函数,则( )
a. 是的第一类间断点。
b. 是的第二类间断点。
c. 在处连续但不可导。
d. 在处可导。
答案】d解析】,因此在处连续,而,而,因此。
而左右两边的极限均为1,因此,故在可导,选择d.
5)设是可逆矩阵,且与相似,则下列结论错误的是( )
a. 与相似。
b. 与相似。
c. 与相似。
d. 与相似。
答案】c解析】因为与相似,因此存在可逆矩阵,使得,于是有:
即,因此,因此,而c选项中,不一定等于,故c不正确,选择c.
6)设二次型,则在空间直角坐标系下表示的二次曲面为( )
a.单叶双曲面。
b.双叶双曲面。
c.椭球面。
d.柱面。答案】b
解析】二次型对应的矩阵,根据可以求得特征值为,,因此二次型的规范形为,故可得,即,因此对应的曲面为双叶双曲面,选择b.
7)设随机变量,记,则( )
a. 随着的增加而增加。
b. 随着的增加而增加。
c. 随着的增加而减少。
d. 随着的增加而减少。
答案】b解析】,因此选择b,随着的增加而增加。
8)随机试验有三种两两不相容的结果,且三种结果发生的概率均为,将试验独立重复做2次,表示2次试验中结果发生的次数,表示2次试验发生的次数,则于的相关系数为( )a.b.
c.d.
答案】解析】根据题意可知,因此有。
因此可得,故可得相关系数为:
二、填空题,9~14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答疑纸指定位置上。
答案】解析】
10)向量场的旋度。
答案】解析】由旋度公式可得。
11)设函数可微,由方程确定,则。
答案】解析】将两边分别关于求导可得:
将代入原式可得,因此将代入关于求导的式子可得:
因此,代入关于求导的式子可得:,因此有,故可得。
12)设函数,且,则。
答案】解析】根据,可得:
然后求二阶导数为:
此时(存疑)
13)行列式。
答案】解析】.
14)设为来自总体的简单随机样本,样本均值,参数的置信度为0.95的双侧知心区间的置信上限为10.8,则的置信度为0.95的双侧置信区间为。
答案】解析】,因为,所以,因此可得,故可得置信区间为。
三、解答题:15~23小题,共94分。请将解答写在答题纸指定位置上,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15)(本题满分10分)
已知平面区域,计算二重积分。
答案】解析】
16)(本题满分10分)
设函数满足方程,其中。
ⅰ)证明:反常积分收敛;
ⅱ)若,求的值。
答案】(ⅰ解析】
ⅰ)特征方程为,由可知,特征方程有两个不同的实根,即且,因此二阶常系数齐次线性方程的解为:,故可得。
因此收敛。ⅱ)由,可得:
解得。代入可得。
17)(本题满分10分)
设函数满足,且,是从点到点的光滑曲线,计算曲线积分,并求的最小值。
答案】3解析】
根据可得:又故可知,因此。
所以,设,则有。
因此,因此积分与路径无关。
故。因为,所以,令可得。
而,因此,因此当有最小值为。
18)(本题满分10分)
设有界区域由平面与三个坐标平面围成,为整个表面的外侧,计算曲面积分。
答案】解析】
令。由高斯公式可知:
19)(本题满分10分)
已知函数可导,且。设数列满足,证明:
ⅰ)级数绝对收敛;
ⅱ)存在,且。
答案】利用绝对收敛定义证明即可。
解析】ⅰ)证:,因此有。
显然收敛,因此绝对收敛。
ⅱ)记,因此得,因为级数收敛,因此存在,因此存在,不妨设,由可得。
两边取极限可得,即。
若,这与矛盾,若,与矛盾,因此可得,即。
20)(本题满分11分)
设矩阵。当为何值时,方程无解、有唯一解、有无穷多解?在有解时,求解此方程。
答案】时,无解;时,有无穷多解,;
且时,有唯一解,
解析】增广矩阵为。
因此当即且时,有唯一解;
设,代入,解得。
当代入。设,因此可得,这两个式子是矛盾的,因此方程组无解;
当代入,此时方程组有无穷多解,将代入可得,解得,不妨设为自由未知量,则可得。
21)(本题满分11分)
已知矩阵。ⅰ)求;
ⅱ)设3阶矩阵满足。记,将分别表示成的线性组合。答案】(ⅰ
解析】ⅰ)利用相似对角化,由得到特征值为,当时,代入中,求解方程组的解就是特征向量,即。
同理得到其他的两个特征向量分别为:对应的特征向量为,对应的特征向量为,设,则有,因此可得。
根据矩阵可以求得其逆矩阵为。
因此有。ⅱ),因此可得、,所以。
因此有。22)(本题满分11分)
设二维随机变量在区域上服从均匀分布,令。
ⅰ)写出的概率密度;
ⅱ)问与是否相互独立?并说明理解;
ⅲ)求的分布函数。答案】
ⅱ)与不独立,因为。
ⅲ)的分布函数为:
解析】ⅰ)区域的面积为,因此服从均匀分布,因此有。
ⅱ)与不独立。
因此,故不独立。
因此可得。23)(本题满分11分)
设总体的概率密度为,其中为未知参数,为总体的简单随机抽样,令。
ⅰ)求的概率密度;
ⅱ)确定,使得为的无偏估计。
答案】ⅰ)的概率密度:
解析】ⅰ)根据题意,独立同分布,因此可得。
当时,;当时,;
当时,,因此可得概率密度函数为:
ⅱ),根据题意,如果为的无偏估计,则有。
因此可得。
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