一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选前的字母填在答题纸指定位置上。
1）若反常积分收敛，则（ ）
a. 且。b. 且。
c. 且。d. 且。
答案】c解析】，而当时收敛，而此时不影响，，而当时收敛，此时不影响，因此选择c.
2）已知函数，则的一个原函数是（ ）
a. b.
c. d.
答案】d解析】对函数做不定积分可得原函数，，因此选择d.
3）若是微分方程的两个解，则=（
a. b.
c. d.
答案】a解析】将代入微分方程可得：
而将代入微分方程可得：
将这两个式子相加可得：
两个式子相减可得：
因此可得。故选择a.
4）已知函数，则（ ）
a. 是的第一类间断点。
b. 是的第二类间断点。
c. 在处连续但不可导。
d. 在处可导。
答案】d解析】，因此在处连续，而，而，因此。
而左右两边的极限均为1，因此，故在可导，选择d.
5）设是可逆矩阵，且与相似，则下列结论错误的是（ ）
a. 与相似。
b. 与相似。
c. 与相似。
d. 与相似。
答案】c解析】因为与相似，因此存在可逆矩阵，使得，于是有：
即，因此，因此，而c选项中，不一定等于，故c不正确，选择c.
6）设二次型，则在空间直角坐标系下表示的二次曲面为（ ）
a.单叶双曲面。
b.双叶双曲面。
c.椭球面。
d.柱面。答案】b
解析】二次型对应的矩阵，根据可以求得特征值为，，因此二次型的规范形为，故可得，即，因此对应的曲面为双叶双曲面，选择b.
7）设随机变量，记，则（ ）
a. 随着的增加而增加。
b. 随着的增加而增加。
c. 随着的增加而减少。
d. 随着的增加而减少。
答案】b解析】，因此选择b，随着的增加而增加。
8）随机试验有三种两两不相容的结果，且三种结果发生的概率均为，将试验独立重复做2次，表示2次试验中结果发生的次数，表示2次试验发生的次数，则于的相关系数为（ ）a.b.
c.d.
答案】解析】根据题意可知，因此有。
因此可得，故可得相关系数为：
二、填空题，9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答疑纸指定位置上。
答案】解析】
10）向量场的旋度。
答案】解析】由旋度公式可得。
11）设函数可微，由方程确定，则。
答案】解析】将两边分别关于求导可得：
将代入原式可得，因此将代入关于求导的式子可得：
因此，代入关于求导的式子可得：，因此有，故可得。
12）设函数，且，则。
答案】解析】根据，可得：
然后求二阶导数为：
此时（存疑）
13）行列式。
答案】解析】.
14）设为来自总体的简单随机样本，样本均值，参数的置信度为0.95的双侧知心区间的置信上限为10.8，则的置信度为0.95的双侧置信区间为。
答案】解析】，因为，所以，因此可得，故可得置信区间为。
三、解答题：15~23小题，共94分。请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15）（本题满分10分）
已知平面区域，计算二重积分。
答案】解析】
16）（本题满分10分）
设函数满足方程，其中。
ⅰ）证明：反常积分收敛；
ⅱ）若，求的值。
答案】（ⅰ解析】
ⅰ）特征方程为，由可知，特征方程有两个不同的实根，即且，因此二阶常系数齐次线性方程的解为：，故可得。
因此收敛。ⅱ）由，可得：
解得。代入可得。
17）（本题满分10分）
设函数满足，且，是从点到点的光滑曲线，计算曲线积分，并求的最小值。
答案】3解析】
根据可得：又故可知，因此。
所以，设，则有。
因此，因此积分与路径无关。
故。因为，所以，令可得。
而，因此，因此当有最小值为。
18）（本题满分10分）
设有界区域由平面与三个坐标平面围成，为整个表面的外侧，计算曲面积分。
答案】解析】
令。由高斯公式可知：
19）（本题满分10分）
已知函数可导，且。设数列满足，证明：
ⅰ）级数绝对收敛；
ⅱ）存在，且。
答案】利用绝对收敛定义证明即可。
解析】ⅰ）证：，因此有。
显然收敛，因此绝对收敛。
ⅱ）记，因此得，因为级数收敛，因此存在，因此存在，不妨设，由可得。
两边取极限可得，即。
若，这与矛盾，若，与矛盾，因此可得，即。
20）（本题满分11分）
设矩阵。当为何值时，方程无解、有唯一解、有无穷多解？在有解时，求解此方程。
答案】时，无解；时，有无穷多解，；
且时，有唯一解，
解析】增广矩阵为。
因此当即且时，有唯一解；
设，代入，解得。
当代入。设，因此可得，这两个式子是矛盾的，因此方程组无解；
当代入，此时方程组有无穷多解，将代入可得，解得，不妨设为自由未知量，则可得。
21）（本题满分11分）
已知矩阵。ⅰ）求；
ⅱ）设3阶矩阵满足。记，将分别表示成的线性组合。答案】（ⅰ
解析】ⅰ）利用相似对角化，由得到特征值为，当时，代入中，求解方程组的解就是特征向量，即。
同理得到其他的两个特征向量分别为：对应的特征向量为，对应的特征向量为，设，则有，因此可得。
根据矩阵可以求得其逆矩阵为。
因此有。ⅱ），因此可得、，所以。
因此有。22）（本题满分11分）
设二维随机变量在区域上服从均匀分布，令。
ⅰ）写出的概率密度；
ⅱ）问与是否相互独立？并说明理解；
ⅲ）求的分布函数。答案】
ⅱ）与不独立，因为。
ⅲ）的分布函数为：
解析】ⅰ）区域的面积为，因此服从均匀分布，因此有。
ⅱ）与不独立。
因此，故不独立。
因此可得。23）（本题满分11分）
设总体的概率密度为，其中为未知参数，为总体的简单随机抽样，令。
ⅰ）求的概率密度；
ⅱ）确定，使得为的无偏估计。
答案】ⅰ）的概率密度：
解析】ⅰ）根据题意，独立同分布，因此可得。
当时，；当时，；
当时，，因此可得概率密度函数为：
ⅱ），根据题意，如果为的无偏估计，则有。
因此可得。
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