2023年考研数学一真题

发布 2020-02-16 03:11:28 阅读 1760

一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选前的字母填在答题纸指定位置上。

1)若反常积分收敛,则( )

a. 且。b. 且。

c. 且。d. 且。

答案】c解析】,而当时收敛,而此时不影响,,而当时收敛,此时不影响,因此选择c.

2)已知函数,则的一个原函数是( )

a. b.

c. d.

答案】d解析】对函数做不定积分可得原函数,,因此选择d.

3)若是微分方程的两个解,则=(

a. b.

c. d.

答案】a解析】将代入微分方程可得:

而将代入微分方程可得:

将这两个式子相加可得:

两个式子相减可得:

因此可得。故选择a.

4)已知函数,则( )

a. 是的第一类间断点。

b. 是的第二类间断点。

c. 在处连续但不可导。

d. 在处可导。

答案】d解析】,因此在处连续,而,而,因此。

而左右两边的极限均为1,因此,故在可导,选择d.

5)设是可逆矩阵,且与相似,则下列结论错误的是( )

a. 与相似。

b. 与相似。

c. 与相似。

d. 与相似。

答案】c解析】因为与相似,因此存在可逆矩阵,使得,于是有:

即,因此,因此,而c选项中,不一定等于,故c不正确,选择c.

6)设二次型,则在空间直角坐标系下表示的二次曲面为( )

a.单叶双曲面。

b.双叶双曲面。

c.椭球面。

d.柱面。答案】b

解析】二次型对应的矩阵,根据可以求得特征值为,,因此二次型的规范形为,故可得,即,因此对应的曲面为双叶双曲面,选择b.

7)设随机变量,记,则( )

a. 随着的增加而增加。

b. 随着的增加而增加。

c. 随着的增加而减少。

d. 随着的增加而减少。

答案】b解析】,因此选择b,随着的增加而增加。

8)随机试验有三种两两不相容的结果,且三种结果发生的概率均为,将试验独立重复做2次,表示2次试验中结果发生的次数,表示2次试验发生的次数,则于的相关系数为( )a.b.

c.d.

答案】解析】根据题意可知,因此有。

因此可得,故可得相关系数为:

二、填空题,9~14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答疑纸指定位置上。

答案】解析】

10)向量场的旋度。

答案】解析】由旋度公式可得。

11)设函数可微,由方程确定,则。

答案】解析】将两边分别关于求导可得:

将代入原式可得,因此将代入关于求导的式子可得:

因此,代入关于求导的式子可得:,因此有,故可得。

12)设函数,且,则。

答案】解析】根据,可得:

然后求二阶导数为:

此时(存疑)

13)行列式。

答案】解析】.

14)设为来自总体的简单随机样本,样本均值,参数的置信度为0.95的双侧知心区间的置信上限为10.8,则的置信度为0.95的双侧置信区间为。

答案】解析】,因为,所以,因此可得,故可得置信区间为。

三、解答题:15~23小题,共94分。请将解答写在答题纸指定位置上,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15)(本题满分10分)

已知平面区域,计算二重积分。

答案】解析】

16)(本题满分10分)

设函数满足方程,其中。

ⅰ)证明:反常积分收敛;

ⅱ)若,求的值。

答案】(ⅰ解析】

ⅰ)特征方程为,由可知,特征方程有两个不同的实根,即且,因此二阶常系数齐次线性方程的解为:,故可得。

因此收敛。ⅱ)由,可得:

解得。代入可得。

17)(本题满分10分)

设函数满足,且,是从点到点的光滑曲线,计算曲线积分,并求的最小值。

答案】3解析】

根据可得:又故可知,因此。

所以,设,则有。

因此,因此积分与路径无关。

故。因为,所以,令可得。

而,因此,因此当有最小值为。

18)(本题满分10分)

设有界区域由平面与三个坐标平面围成,为整个表面的外侧,计算曲面积分。

答案】解析】

令。由高斯公式可知:

19)(本题满分10分)

已知函数可导,且。设数列满足,证明:

ⅰ)级数绝对收敛;

ⅱ)存在,且。

答案】利用绝对收敛定义证明即可。

解析】ⅰ)证:,因此有。

显然收敛,因此绝对收敛。

ⅱ)记,因此得,因为级数收敛,因此存在,因此存在,不妨设,由可得。

两边取极限可得,即。

若,这与矛盾,若,与矛盾,因此可得,即。

20)(本题满分11分)

设矩阵。当为何值时,方程无解、有唯一解、有无穷多解?在有解时,求解此方程。

答案】时,无解;时,有无穷多解,;

且时,有唯一解,

解析】增广矩阵为。

因此当即且时,有唯一解;

设,代入,解得。

当代入。设,因此可得,这两个式子是矛盾的,因此方程组无解;

当代入,此时方程组有无穷多解,将代入可得,解得,不妨设为自由未知量,则可得。

21)(本题满分11分)

已知矩阵。ⅰ)求;

ⅱ)设3阶矩阵满足。记,将分别表示成的线性组合。答案】(ⅰ

解析】ⅰ)利用相似对角化,由得到特征值为,当时,代入中,求解方程组的解就是特征向量,即。

同理得到其他的两个特征向量分别为:对应的特征向量为,对应的特征向量为,设,则有,因此可得。

根据矩阵可以求得其逆矩阵为。

因此有。ⅱ),因此可得、,所以。

因此有。22)(本题满分11分)

设二维随机变量在区域上服从均匀分布,令。

ⅰ)写出的概率密度;

ⅱ)问与是否相互独立?并说明理解;

ⅲ)求的分布函数。答案】

ⅱ)与不独立,因为。

ⅲ)的分布函数为:

解析】ⅰ)区域的面积为,因此服从均匀分布,因此有。

ⅱ)与不独立。

因此,故不独立。

因此可得。23)(本题满分11分)

设总体的概率密度为,其中为未知参数,为总体的简单随机抽样,令。

ⅰ)求的概率密度;

ⅱ)确定,使得为的无偏估计。

答案】ⅰ)的概率密度:

解析】ⅰ)根据题意,独立同分布,因此可得。

当时,;当时,;

当时,,因此可得概率密度函数为:

ⅱ),根据题意,如果为的无偏估计,则有。

因此可得。

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