2023年全国硕士研究生入学统一考试。
数学(一)试卷。
一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。把答案填在题中横线上)
2)已知，则。
3)满足初始条件的特解是。
4)已知实二次型经正交变换可化为标准型，则。
5)设随机变量，且二次方程无实根的概率为0.5,则。
二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)
1)考虑二元函数的四条性质：
在点处连续， ②在点处的一阶偏导数连续，在点处可微， ④在点处的一阶偏导数存在。
则有：ab)③②
cd)③①2)设，且，则级数为。
a)发散b)绝对收敛。
c)条件收敛d)收敛性不能判定。
3)设函数在上有界且可导，则。
a)当时，必有b)当存在时，必有。
c) 当时，必有 (d) 当存在时，必有。
4)设有三张不同平面，其方程为()它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2,则这三张平面可能的位置关系为。
5)设和是相互独立的连续型随机变量，它们的密度函数分别为和，分布函数分别为和，则。
a)＋必为密度函数b) 必为密度函数。
c)＋必为某一随机变量的分布函数 (d) 必为某一随机变量的分布函数。
三、(本题满分6分)
设函数在的某邻域具有一阶连续导数，且，当时，若，试求的值。
四、(本题满分7分)
已知两曲线与在点处的切线相同。求此切线的方程，并求极限。
五、(本题满分7分)
计算二重积分，其中。
六、(本题满分8分)
设函数在上具有一阶连续导数，是上半平面(>0)内的有向分段光滑曲线，起点为(),终点为().
记，1)证明曲线积分与路径无关。
2)当时，求的值。
七、(本题满分7分)
(1)验证函数()满足微分方程。
2)求幂级数的和函数。
八、(本题满分7分)
设有一小山，取它的底面所在的平面为面，其底部所占的区域为，小山的高度函数为。
1)设为区域上一点，问在该点沿平面上何方向的方向导数最大？若此方向的方向导数为，写出的表达式。
2)现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚下寻找一山坡最大的点作为攀登的起点。也就是说要在的边界线上找出使(1)中达到最大值的点。试确定攀登起点的位置。
九、(本题满分6分)
已知四阶方阵， 均为四维列向量，其中线性无关，.若，求线性方程组的通解。
十、(本题满分8分)
设为同阶方阵，1)若相似，证明的特征多项式相等。
(2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立。
(3)当为实对称矩阵时，证明(1)的逆命题成立。
十一、(本题满分7分)
设维随机变量的概率密度为。
对独立地重复观察4次，用表示观察值大于的次数，求的数学期望。
十二、(本题满分7分)
设总体的概率分布为。
其中()是未知参数，利用总体的如下样本值。
求的矩估计和最大似然估计值。
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