2023年考研数学一解析。
．（c）2．（c）3．（d）4．（b）．6．a）．7．（b）．8．（d）．
12．【详解】由斯托克斯公式可知。
其中取上侧，．
13．的取值范围是．
14．【详解】，所以，由于是的无偏估计，故，．
15．【分析】．先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限．
详解】16．【详解】
解：在方程两边同时对求导一次，得到。
即，令及，得到函数唯一驻点．
在（１）式两边同时对求导一次，得到。
把代入，得到，所以函数在处取得极小值．
17．的表达式为．
18．【详解】
设取下侧，记由所围立体为，则高斯公式可得。
在取下侧上，所以=
19．【详解】
1）证明：由，及可得，所以，由于级数收敛，所以级数也收敛，由收敛的必要条件可得．
2）证明：由于，所以。
由于级数收敛，由正项级数的比较审敛法可知级数收敛．
20．【详解】（1）对系数矩阵a进行初等行变换如下：
得到方程组同解方程组，得到的一个基础解系．
显然b矩阵是一个矩阵，设。
对矩阵进行进行初等行变换如下：
由方程组可得矩阵b对应的三列分别为，即满足的所有矩阵为，其中为任意常数．
21．【详解】证明：设， ．
分别求两个矩阵的特征值和特征向量如下：， 所以a的个特征值为；
而且a是实对称矩阵，所以一定可以对角化．且；
所以b的个特征值也为；对于重特征值，由于矩阵的秩显然为1，所以矩阵b对应重特征值的特征向量应该有个线性无关，进一步矩阵b存在个线性无关的特征向量，即矩阵b一定可以对角化，且，从而可知阶矩阵与相似．
所以分布函数为。
2）概率密度函数为， ．
23．【详解】（1）先求出总体x的概率密度函数，2）极大似然函数为：
当所有的观测值都大于零时，，令，得的极大似然估计量为；
3）因为独立同分布，显然对应的也独立同分布，又有（１）个可知，由辛钦大数定律，可得，由前两问可知，，，所以存在常数，使得对任意的，都有．
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