2023年数学一试题。
一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分。把答案填在题中横线上）
2）设，具有二阶连续导数，则。
3）设为椭圆，其周长记为，则。
4）设为阶矩阵，为的伴随矩阵，为阶单位矩阵。若有特征值，则必有特征值。
5）设平面区域由曲线及直线所围成，二维随机变量在区域上服从均匀分布，则关于的边缘概率密度在处的极值为。
二、选择题（本题共5 小题，每小题3分，满分15分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题目后的圆括号内）
1）设连续，则。
a） （bc） （d）
2）函数不可导点的个数是。
a）3b）2c）1d）0
3）已知函数在任意一点处的增量且当时，是的高阶无穷小，，则等于。
abcd）4）设矩阵。
是满秩的，则直线与直线。
a）相交于一点b）重合。
c）平衡但不重合d）异面。
5）设是两个随机事件，且，则必有。
ab）cd）
三、（本题满分5分）
求直线在平面上的投影直线的方程，并求绕轴旋转一周所成曲面的方程。
四、（本题满分6分）
确定常数，使右半平面上的向量为某二元函数的梯度，并求。
五、（本题满分6分）
从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，须确定仪器的下沉深度（从海平面算起）与下沉速度之间的函数关系。设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受阻力和浮力的作用，设仪器的质量为，体积为，海水比重为，仪器所受阻力与下沉速度城正比，比例系数为，试建立与所满足的微分方程，并求出函数关系式。
六、（本题满分7分）
计算，其中为下半球面的上侧，为大于0的常数。
七、（本题满分6分）
求。八、（本题满分5分）
设正项数列单调减少，且发散，试问级数是否收敛？并说明理由。
九、（本题满分6分）
设是区间上任一非负连续函数。
1） 试证存在，使得在区间上以为高的矩形面积，等于在区间上以为曲边的梯形面积。
2） 又设在区间内可导，且，证明（1）中的是唯一的。
十、（本题满分6分）
已知二次曲面方程
经过正交变换。
化为椭圆柱面方程，求得值和正交矩阵。
十一、（本题满分4分）
设是阶矩阵，若存在正整数，使线性方程组有解向量，且。证明向量组是线性无关的。
十二、（本题满分5分）
已知线性方程组。
i）的一个基础解系为。试写出线性方程组。
ii）的通解，并说明理由。
十三、（本题满分6分）
设两个随机变量相互独立，且都服从均值为0，方差为的正态分布，求随机变量的方差。
十四、（本题满分4分）
从正态总体中抽取容量为的样本，如果要求其样本均值位于区间内的概率不小于0.95，问样本容量至少应取多大？
附表：标准正态分布表。
十五、（本题满分4分）
设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标准差为15分。问在显著性水平0.
05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？并给出检验过程。
附表：分布表。
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