2024年数学一试题分析、详解和评注。
一、 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分。 把答案填在题中横线上）
1）曲线y=lnx上与直线垂直的切线方程为 .
分析】 本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为1，由曲线y=lnx的导数为1可确定切点的坐标。
详解】 由，得x=1, 可见切点为，于是所求的切线方程为。
即。评注】 本题也可先设切点为，曲线y=lnx过此切点的导数为，得，由此可知所求切线方程为， 即。
本题比较简单，类似例题在一般教科书上均可找到。
2）已知，且f(1)=0, 则f(x)=
分析】 先求出的表达式，再积分即可。
详解】 令，则，于是有。
即 积分得 . 利用初始条件f(1)=0, 得c=0，故所求函数为f(x)=.
评注】 本题属基础题型，已知导函数求原函数一般用不定积分。
完全类似的例题见《数学复习指南》p89第8题， p90第11题。
3）设为正向圆周在第一象限中的部分，则曲线积分的值为。
分析】 利用极坐标将曲线用参数方程表示，相应曲线积分可化为定积分。
详解】 正向圆周在第一象限中的部分，可表示为。
于是 评注】 本题也可添加直线段，使之成为封闭曲线，然后用格林公式计算，而在添加的线段上用参数法化为定积分计算即可。
完全类似例题见《数学题型集粹与练习题集》p143例10.11，《考研数学大串讲》p122例5、例7 .
4）欧拉方程的通解为。
分析】 欧拉方程的求解有固定方法，作变量代换化为常系数线性齐次微分方程即可。
详解】 令，则，代入原方程，整理得。
解此方程，得通解为
评注】 本题属基础题型，也可直接套用公式，令，则欧拉方程。
可化为 完全类似的例题见《数学复习指南》p171例6.19, 《数学题型集粹与练习题集》p342第六题。，《考研数学大串讲》p75例12.
5）设矩阵，矩阵b满足，其中为a的伴随矩阵，e是单位矩阵，则 .
分析】 可先用公式进行化简。
详解】 已知等式两边同时右乘a，得。
而，于是有。
即 ，再两边取行列式，有 ，而，故所求行列式为。
评注】 先化简再计算是此类问题求解的特点，而题设含有伴随矩阵，一般均应先利用公式进行化简。
完全类似例题见《数学最后冲刺》p107例2，p118例9
（6）设随机变量x服从参数为的指数分布，则= .
分析】 已知连续型随机变量x的分布，求其满足一定条件的概率，转化为定积分计算即可。
详解】 由题设，知，于是。
评注】 本题应记住常见指数分布等的期望与方差的数字特征，而不应在考试时再去推算。
完全类似例题见《数学一临考演习》p35第5题。
二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分。 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
7）把时的无穷小量，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是。
a). b) .c). db ]
分析】 先两两进行比较，再排出次序即可。
详解】 ，可排除(c),(d)选项，又。
可见是比低阶的无穷小量，故应选(b).
评注】 本题是无穷小量的比较问题，也可先将分别与进行比较，再确定相互的高低次序。
完全类似例题见《数学一临考演习》p28第9题。
8）设函数f(x)连续，且则存在，使得。
(a) f(x)在（0，内单调增加。 （b）f(x)在内单调减少。
c) 对任意的有f(x)>f(0) .d) 对任意的有f(x)>f(0c ]
分析】 函数f(x)只在一点的导数大于零，一般不能推导出单调性，因此可排除(a),(b)选项，再利用导数的定义及极限的保号性进行分析即可。
详解】 由导数的定义，知，根据保号性，知存在，当时，有。
即当时，f(x)f(0). 故应选(c).
评注】 题设函数一点可导，一般均应联想到用导数的定义进行讨论。
完全类似例题见《数学一临考演习》p28第10题。
9）设为正项级数，下列结论中正确的是。
(a) 若=0，则级数收敛。
b） 若存在非零常数，使得，则级数发散。
c) 若级数收敛，则。
d) 若级数发散， 则存在非零常数，使得b ]
分析】 对于敛散性的判定问题，若不便直接推证，往往可用反例通过排除法找到正确选项。
详解】 取，则=0，但发散，排除(a)，(d)；
又取，则级数收敛，但，排除(c), 故应选(b).
评注】 本题也可用比较判别法的极限形式，，而级数发散，因此级数也发散，故应选(b).
完全类似的例题见《数学复习指南》p213例8.13.
10）设f(x)为连续函数，，则等于。
(a) 2f(2). b) f(2c) –f(2d) 0b ]
分析】 先求导，再代入t=2求即可。关键是求导前应先交换积分次序，使得被积函数中不含有变量t.
详解】 交换积分次序，得。
于是，，从而有，故应选(b).
评注】 在应用变限的积分对变量x求导时，应注意被积函数中不能含有变量x:
否则，应先通过恒等变形、变量代换和交换积分次序等将被积函数中的变量x换到积分号外或积分线上。
完全类似例题见《数学最后冲刺》p184例12，先交换积分次序再求导。
11）设a是3阶方阵，将a的第1列与第2列交换得b,再把b的第2列加到第3列得c, 则满足aq=c的可逆矩阵q为。
a) .b). c) .d) .
d ]分析】 本题考查初等矩阵的的概念与性质，对a作两次初等列变换，相当于右乘两个相应的初等矩阵，而q即为此两个初等矩阵的乘积。
详解】由题设，有。
于是， 可见，应选(d).
评注】 涉及到初等变换的问题，应掌握初等矩阵的定义、初等矩阵的性质以及与初等变换的关系。
完全类似例题见《数学题型集粹与练习题集》p196例2.2
12）设a,b为满足ab=o的任意两个非零矩阵，则必有。
a) a的列向量组线性相关，b的行向量组线性相关。
b) a的列向量组线性相关，b的列向量组线性相关。
c) a的行向量组线性相关，b的行向量组线性相关。
d) a的行向量组线性相关，b的列向量组线性相关a ]
分析】a,b的行列向量组是否线性相关，可从a,b是否行（或列）满秩或ax=0（bx=0）是否有非零解进行分析讨论。
详解1】 设a为矩阵，b 为矩阵，则由ab=o知，又a,b为非零矩阵，必有r(a)>0,r(b)>0. 可见r(a)【详解2】 由ab=o知，b的每一列均为ax=0的解，而b为非零矩阵，即ax=0存在非零解，可见a的列向量组线性相关。
同理，由ab=o知，，于是有的列向量组，从而b的行向量组线性相关，故应选(a).
评注】 ab=o是常考关系式，一般来说，与此相关的两个结论是应记住的：
1） ab=o;
2） ab=ob的每列均为ax=0的解。
完全类似例题见《数学最后冲刺》p110例10-11，《数学一临考演习》p79第4题，〈考研数学大串讲〉p173例8, p184例27。
13）设随机变量x服从正态分布n(0,1)，对给定的，数满足，若，则等于。
a) .b). c). dc ]
分析】 此类问题的求解，可通过的定义进行分析，也可通过画出草图，直观地得到结论。
详解】 由标准正态分布概率密度函数的对称性知，，于是。
即有 ，可见根据定义有，故应选(c).
评注】 本题相当于分位数，直观地有。
o此类问题在文登学校的辅导班上作为正态分布的一般结论总结过。
14）设随机变量独立同分布，且其方差为令，则。
a) covb) .
cda ]分析】 本题用方差和协方差的运算性质直接计算即可，注意利用独立性有：
详解】 cov(
评注】 本题(c),(d) 两个选项的方差也可直接计算得到：如。
完全类似的例题见《数学一临考演习》p78第23题（本题是第23题的特殊情况）.
15）（本题满分12分）
设， 证明。
分析】 根据要证不等式的形式，可考虑用拉格朗日中值定理或转化为函数不等式用单调性证明。
证法1】 对函数在[a,b]上应用拉格朗日中值定理，得。
设，则， 当t>e时，所以单调减少，从而，即，故。
证法2】 设，则，所以当x>e时， 故单调减少，从而当时，即当时，单调增加。
因此当时，即 ，故 .
评注】 本题也可设辅助函数为或。
再用单调性进行证明即可。
完全类似的例题见《数学复习指南》p347例13.31及p344的[解题提示], 考研数学大串讲》p65例13.
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