2024年数学一模22题

五个边长为1的小正方形如图①放置，用两条线段把它们分割成三部分(如图②)，移动其中的两部分，与未移动的部分恰好拼接成一个无空隙无重叠的新正方形(如图③).

小辰阅读后发现，拼接前后图形的面积相等，若设新的正方形的边长为x（x＞0），可得x2=5，x=.由此可知新正方形边长等于两个小正方形组成的矩形的对角线长。

参考上面的材料和小辰的思考方法，解决问题：

五个边长为1的小正方形（如图④放置），用两条线段把它们分割成四部分，移动其中的两部分，与未移动的部分恰好拼接成一个无空隙无重叠的矩形，且所得矩形的邻边之比为1：2．

具体要求如下：

1）设拼接后的长方形的长为a，宽为b，则a的长度为。

2）在图④中，画出符合题意的两条分割线（只要画出一种即可）；

3）在图⑤中，画出拼接后符合题意的长方形（只要画出一种即可）

2，图1是李晨在一次课外活动中所做的问题研究：他用硬纸片做了两个三角形，分别为△abc和△def，其中∠b=90°，∠a=45°，，f=90°，∠edf=30°， ef=2．将△def的斜边de与△abc的斜边ac重合在一起，并将△def沿ac方向移动．在移动过程中，d、e两点始终在ac边上(移动开始时点d与点a重合)．

（1）请回答李晨的问题：若cd=10，则ad= ；

2）如图2，李晨同学连接fc，编制了如下问题，请你回答：

∠fcd的最大度数为。

当fc∥ab时，ad= ；

当以线段ad、fc、bc的长度为三边长的三角形是直角三角形，且fc为斜边时，ad= ;

△fcd的面积s的取值范围是 .

3，如图，在平面直角坐标系xoy中，e（8,0），f(0 , 6).

1）当g(4，8)时，则∠fgebd

2）在图中的网格区域内找一点p，使∠fpe=90°且四边形oepf被。

过p点的一条直线分割成两部分后，可以拼成一个正方形．

要求：写出点p点坐标，画出过p点的分割线并指出分割线（不必说明理由，不写画法）.

4，阅读下面材料：

小炎遇到这样一个问题：如图1，点e、f分别在正方形abcd的边bc，cd上，∠eaf=45°，连结ef，则ef=be+df，试说明理由．

图1图2小炎是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段相对集中．她先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，最后发现线段ab，ad是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法．她的方法是将△abe绕着点a逆时针旋转90°得到△adg，再利用全等的知识解决了这个问题（如图2）．

参考小炎同学思考问题的方法，解决下列问题：

1）如图3，四边形abcd中，ab=ad，∠bad=90°点e，f分别在边bc，cd上，∠eaf=45°．若∠b，∠d都不是直角，则当∠b与∠d满足_ 关系时，仍有ef=be+df；

2）如图4，在△abc中，∠bac=90°，ab=ac，点d、e均在边bc上，且∠dae=45°，若bd=1， ec=2，求de的长．

图3图422. 阅读下列材料：

小明遇到这样一个问题：已知：在△abc中，ab,bc,ac三边的长分别为、、，求△abc的面积．

小明是这样解决问题的：如图1所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△abc（即△abc三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出△abc的面积。他把这种解决问题的方法称为构图法．

请回答：1)图1中△abc的面积为。

参考小明解决问题的方法，完成下列问题：

2)图2是一个6×6的正方形网格(每个小正方形的边长为1) ．

利用构图法在答题卡的图2中画出三边长分别为、、的格点△def；

计算△def的面积为。

3)如图3，已知△pqr，以pq，pr为边向外作正方形pqaf，prde，连接ef．若，则六边形aqrdef的面积为。

6，在学习三角形中线的知识时，小明了解到：三角形的任意一条中线所在的直线可以把该三角形分为面积相等的两部分。进而，小明继续研究，过四边形的某一顶点的直线能否将该四边形平分为面积相等的两部分？

他画出了如下示意图（如图1），得到了符合要求的直线af。

小明的作图步骤如下：

第一步：连结ac；

第二步：过点b作be//ac交dc的延长线于点e；

第三步：取ed中点f，作直线af；

则直线af即为所求。

请参考小明思考问题的方法，解决问题：

如图2，五边形abocd，各顶点坐标为：a(3,4)，b(0,2)，o(0,0)，c(4,0)，d(4,2).请你构造一条经过顶点a的直线，将五边形abocd分为面积相等的两部分，并求出该直线的解析式。

7，阅读下面材料：

在学习小组活动中，小明**了下面问题：菱形纸片abcd的边长为2，折叠菱形纸片，将b、d两点重合在对角线bd上的同一点处，折痕分别为ef、gh．当重合点在对角线bd上移动时，六边形aefchg的周长的变化情况是怎样的？

小明发现：若∠abc=60°，如图1，当重合点在菱形的对称中心o处时，六边形aefchg的周长为。

如图2，当重合点在对角线bd上移动时，六边形aefchg的周长填“改变”或“不变”）.

请帮助小明解决下面问题：

如果菱形纸片abcd边长仍为2，改变∠abc的大小，折痕ef的长为m．

1）如图3，若∠abc=120°，则六边形aefchg的周长为。

2）如图4，若∠abc的大小为，则六边形aefchg的周长可表示为。

8，如图，定义：在rt△abc中，∠c =90°,锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作ctanα，即ctanα=.

根据上述角的余切定义，解答下列问题：

1）ctan60°=

2）求ctan15°的值。

9，折纸是一种传统的手工艺术，也是很多人从小就经历的事，在折纸中，蕴涵许多数学知识，我们还可以通过折纸验证数学猜想．如下图把一张直角三角形纸片按照图①～④的过程折叠后展开，便得到一个新的图形—“叠加矩形”。请按照上述操作过程完成下面的问题：

1）若上述直角三角形的面积为6，则叠加矩形的面积为。

2）已知△abc在正方形网格的格点上，在图9中画出△abc的边bc上的叠加矩形efgh（用虚线作出痕迹，实线呈现矩形，保留作图痕迹）

(3) 如图10所示的坐标系，oa=3，点p为第一象限内的整数点，使得△oap的叠加矩形是正方形，写出所有满足条件的p点的坐标。

10，如图①，这是由十个边长为1的小正方形组成的一个图形，对这个图形进行适当分割(如图②)，然后拼接成新的图形(如图③)．拼接时不重叠、无空隙，并且拼接后新图形的顶点在所给正方形网格图中的格点上(网格图中每个小正方形边长都为1)．

请你参照上述操作过程，将由图①所得到的符合要求的新图形画在下边的正方形网格图中．

1)新图形为平行四边形；

2)新图形为等腰梯形．

11，如图1，在△abc中，e、d分别为ab、ac上的点，且ed//bc，o为dc中点，连结eo并延长交bc的延长线于点f，则有s四边形ebcd=s△ebf.

1）如图2，在已知锐角∠aob内有一个定点p．过点p任意作一条直线mn，分别交射线oa、ob于点m、n．将直线mn绕着点p旋转的过程中发现，当直线mn满足某个条件时，△mon的面积存在最小值．直接写出这个条件。

（2）如图3，在平面直角坐标系中，o为坐标原点，点a、b、c、p的坐标分别为），过点p的直线l与四边形oabc一组对边相交，将四边形oabc分成两个四边形，求其中以点o为顶点的四边形面积的最大值．

22．实验操作。

1）如图1，在平面直角坐标系中，△的顶点的横、纵坐标都是整数，若将△以点为旋转中心，按顺时针方向旋转得到△，请在坐标系中画出点及△；

（2）如图2，在菱形网格图（最小的菱形的边长为1，且有一个内角为）中有一个等边△，它的顶点都落在格点上，若将△以点为旋转中心，按顺时针方向旋转得到△，请在菱形网格图中画出△.其中，点旋转到点所经过的路线长为 .

13，在中，，，设为最长边．当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，可以判断的形状（按角分类）．

1）请你通过画图**并判断：当三边长分别为6，8，9时，为___三角形；当三边长分别为6，8，11时，为___三角形．

2）小明同学根据上述**，有下面的猜想：“当》时，为锐角三角形；当《时，为钝角三角形．” 请你根据小明的猜想完成下面的问题：

当，时，最长边在什么范围内取值时，是直角三角形、锐角三角形、钝角三角形？

14，问题解决。

如图1，将两个完全相同的三角形纸片abc和dec重合放置，其中∠c=90°，b=∠e=30°.

（1）如图2，固定△abc，将△dec绕点c旋转，当点d恰好落在ab边上时，

设△bdc的面积为，△aec的面积为，那么与的数量关系是。

（2）当△dec绕点c旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中与的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△bdc和△aec中bc、ce边上的高，请你证明小明的猜想．

3）如图4，∠abc=60°，点d在其角平分线上，bd=cd=6，de∥ab交bc于点e，若点f在射线ba上，并且，请直接写出相应的bf的长．

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