2023年数学竞赛模拟训练试题（8）详细解答。
一、填空题：共64分，每小题8分．
1．若关于的不等式有解，且解集的区间长不超过5个单位，满足上述要求的的最大值为，最小值为，则=__
2．已知，且，则=__
3．设五个非负实数的和为1，则的最小值为___
4．已知：．记，用表示不超过的最大整数，则= _
5．过点p（1, 1）作直线与椭圆交于a,b两点，则|pa|·|pb|的最大值为___
6．一只小球放入一长方形容器内，且与共点的三个面相接触，小球上有一点到这三个面的距离分别是，则这只小球的半径是___
7．设实数满足，则与的大小关系是___
8．一个凸36面体中，24个面是三角形，12个面是四边形，则该多面体的对角线的条数是___连结不在凸多面体的同一个面内的两个凸多面体的顶点的线段叫做凸多面体的对角线．）．
二、解答题：共56分，第9题16分，第题各20分．
9．椭圆的左、右焦点为f1, f2，点a为椭圆上一点，直线af1、af2 交椭圆于b、c,求的值．
10．设边长为1的正△abc的边bc上有n-1个n 等分点，沿点b到点c的方向，依次为 p1，p2，…，pn-1 , 若．求．
11．已知，对于任意正数，是否存在正数， 使得以为边长可以构成三角形？如果存在，求出的值，如果不存在，请说明理由．
参***。1．26．因为不等式有解，且解集是一个区间，所以，所以，或．易求得不等式的解集为．
由题意，，所以，解得．综合可知．
取，则=．记，用表示不超过的最大整数，则= _
4．1．,…则．
所以，．因为，，所以．
故，即=1．
5．．直线ab的参数方程为：，其中为参数．代入椭圆方程并整理得：．
设方程的两根为，则．由p（1, 1）在椭圆内部知：一正一负，故|pa|·|pb|=，所以|pa|·|pb|的最大值为．
6．3或9．设球心为o的小球上一点p在共点m的三个面上的射影分别为a,b,c，点o在平面内的射影为o1,pqoo1于q．
设pa =pb=3，pc=6,如图1．由题设知o1、c、m共线，cm=,o1m=r ( r为球的半径）, o1c= (r-3),oq=|o1o-o1q|=|r-pc|=|r-6|， pq=o1c= (r-3) ．
在rt△opq中，op2 =oq2 +pq2，即r2 = r-6) 2 +2(r-3) 2 ，解之得r =3或r=9．
7．．假设，则，由得，即．
由单调递减，得，且，则．
由得，即．由单调递减，得，且，则．
因此，与假设矛盾，所以．
8．241．提示：凸多面体的面数f=36，棱数e= 60，顶点数v= e +2-f =26．将顶点记为（i =1,2,3，…，26)，设凸多面体的面中以为顶点的三角形有个，以为顶点的四边形有个，那么凸多面体的对角线总数为。
9．过作过左准线的垂线，垂足为，左准线交轴于，则，且，故，同理可得，所以．
10．（2004天津预赛题）【证明】如图，设，令，则（，，
其中，，．又∵，
又∵，与的夹角为，．
11．因为，所以．
所以．要构成三角形，就必须是任意两边之和大于第三边，或者两条短边之和大于最长边．
这里就是且．
由可得．由可得．
要对一切都成立，就需要大于的最大值．
设，则．利用基本不等式，，当且仅当即时等号成立，所以，所以．
所以．对一切恒成立就需要小于的最小值．
当且仅当时等号成立．所以．
2023年数学竞赛模拟训练试题 5
模拟训练试题 5 一 填空题 共64分，每小题8分 1 已知，则 2 已知复数数列 满足，则 3 四面体abcd的六条棱长分别为7,13,18,27,36,41，且知ab 41，则cd 4 若关于的方程的两个实数根满足，则的最小值与最大值的乘积为 5 为使函数的值在上恒为正，则参数在区间上的取值范围...
2023年数学竞赛模拟训练试题 4
模拟训练试题 4 一 填空题 共64分，每小题8分 1 已知是方程的两个正根，则 2 在 abc中，角a,b,c的对边长分别为，已知成等比数列，且，则符合题意的角b组成的集合是 3 已知，则 4 方程的正整数解为 5 设，m 的个位数字是 6 函数取最大值时的值为 7 在 abc中，c 90 b 3...
2023年数学竞赛模拟训练试题 1 详细解答
2011年数学竞赛模拟训练试题 1 详细解答。一 填空题 共64分，每小题8分 1 由10个元素组成的集合m 记m的所有非空子集为，1,2，1023，每一个从中的所有元素之积为，则 2 如图1,o的半径为，d,b,c为 o上的三点，boc 120 dc db 1,则db 3 已知，则 4 若实数满足...