2023年数学竞赛模拟训练试题（7）详细解答。
一、填空题：共64分，每小题8分．
1．已知点p在△abc内，且满足，设△pab，△pbc，△pca的面积依次为，则=__
2．已知：数列｛｝中，，则=__
3．若为锐角，且，则的最大值为___
4．设正四面体abcd的棱长为1米，有一只蚂蚁从点a开始按以下规则前进，在每一顶点处等可能地选择连接这个顶点的三条棱之一，并且沿着这条棱爬到另一个顶点，则它爬了6米之后恰好回到顶点a的概率为___
5．设函数定义在［-1, 1］上且满足，则=__
6．已知集合a=｛1,2, 3, 4, 5, 6}, a的三个不同的非空子集a1, a2, a3满足：a2的最小数大于 a1的最大数，且a3的最小数又大于a2的最大数，则这样的子集组（a1, a2, a3）一共有___组．
7．已知椭圆的左右焦点分别为f1, f2，过椭圆的右焦点f2作一条直线l 交该椭圆于a、b两点，则△f1ab的内切圆的面积的最大值为___
8．已知半径为r的球的内接三棱锥s-abc的底面是正三角形，点a在侧面sbc上的射影 h是△sbc 的垂心，则此三棱锥的体积的最大值是___
二、解答题：共56分，第9题16分，第题各20分．
9．已知数列｛｝满足：,求证：．
10．△abc的顶点c的坐标（）满足不等式，边ab在x轴上，如果已知点q (0,1）到直线ac和bc的距离均为1，求△abc的面积的最大值．
11．设正整数不等于2, 5, 13，证明：集合｛2, 5, 13,｝中可以找到两个不同的元素，使得不是完全平方数．参***。
2．1．, 又， ，即。
另一方面， ，又， .1．
3．．，同理。
故的最大值为．
4．．设蚂蚁爬了米之后恰好回到顶点a的概率为，则．当时，，且，数列{}是以为首项，为公比的等比数列，．
5．1．当时，，即．
当时，即．同理可得． ，即=1．
6．111．(1)从a中选取3个数，从小到大排列，用两个隔板去插中间的两个空，把这3个数字分成三部分，每个部分的数字作为集合的元素，则可组成一个满足题设的子集组，这样，共有（组）．
2)从a中选取4个数，从小到大排列，用两个隔板去插中间3个空中的两个空，把这4个数字分成三部分的数字作为集合的元素，这样得到的一个子集组满足题意，此时，共有（组） .
3)从a中选取5个数，从小到大排列，用两个隔板去插中间4个空中的两个空，把这5个数字分成三部分的数字作为集合的元素，这样得到的一个子集组满足题意，此时，共有（组） .
4)从a中选取6个数，从小到大排列，用两个隔板去插中间5个空中的两个空，把这6个数字分成三部分的数字作为集合的元素，这样得到的一个子集组满足题意，此时，共有（组）．
所求子集组共有： +111个．
7．．设直线l的方程为， a 、 b 两点的坐标分别为。
由得，故．
令，则。函数在上是增函数，故（即）时，有最小值，此时△f1ab的面积最大，最大值为3．
因为△f1ab的周长是定值8，故此时△f1ab的内切圆的半径最大，设此时△f1ab的内切圆半径为，则，即，所以△f1ab的内切圆的面积的最大值．
8．．由a在面sbc上的射影是△sbc的垂心，可知sabc，sbac，scab,故s在面abc上的射影o1是△abc的垂心，亦是中心，从而此三棱锥为正三棱锥．
设，则，当时取等号．
9．先证左边的不等式．由，可得。
最后的等式用错位相减法得到．）
再证右边的不等式．
由可知，且．
由，得，…以上各式相加，得，所以，所以．
综合可知．10．设，直线ac的方程为，由点q (0,1）到直线ac的距离为1，可得，所以，故直线ac的方程为．
把点c的坐标代入得，整理得．
设，同理可得．
因此，是一元二次方程的两个根，所以。
所以． ，所以，当时取得等号．
所以△a6c的面积的最大值为．
11．【题说】 第二十七届（2023年）国际数学奥林匹克题1．本题由原联邦德国提供．
证】 证明2ddd－1这三个数中至少有一个不是完全平方数即可．用反证法，设。
5d－1＝x2 （1）
5d－1＝y2 （2）
13d－1＝z2 （3）
其中x、y、z是正整数．
由（1）式知，x是奇数，不妨设x＝2n－1．代入有 2d－1＝（2n－1）2即。
d＝2n2－2n＋1 （4）
4）式说明d也是奇数．
于是由（2）、（3）知y、z是偶数，设y＝2p，z＝2q，代入（2）、（3）相减后除以4有。
2d＝q2－p2＝（q＋p）（q－p）．
因2d是偶数，即q2－p2是偶数，所以p、q同为偶数或同为奇数，从而q＋p和q－p都是偶数，即2d是4的倍数，因此d是偶数．这与d是奇数相矛盾，故命题正确．
2023年数学竞赛模拟训练试题 5
模拟训练试题 5 一 填空题 共64分，每小题8分 1 已知，则 2 已知复数数列 满足，则 3 四面体abcd的六条棱长分别为7,13,18,27,36,41，且知ab 41，则cd 4 若关于的方程的两个实数根满足，则的最小值与最大值的乘积为 5 为使函数的值在上恒为正，则参数在区间上的取值范围...
2023年数学竞赛模拟训练试题 4
模拟训练试题 4 一 填空题 共64分，每小题8分 1 已知是方程的两个正根，则 2 在 abc中，角a,b,c的对边长分别为，已知成等比数列，且，则符合题意的角b组成的集合是 3 已知，则 4 方程的正整数解为 5 设，m 的个位数字是 6 函数取最大值时的值为 7 在 abc中，c 90 b 3...
2023年数学竞赛模拟训练试题 1 详细解答
2011年数学竞赛模拟训练试题 1 详细解答。一 填空题 共64分，每小题8分 1 由10个元素组成的集合m 记m的所有非空子集为，1,2，1023，每一个从中的所有元素之积为，则 2 如图1,o的半径为，d,b,c为 o上的三点，boc 120 dc db 1,则db 3 已知，则 4 若实数满足...