2023年数学竞赛模拟训练试题（1）详细解答。
一、填空题：共64分，每小题8分．
1．由10个元素组成的集合m = 记m的所有非空子集为，=1, 2，…，1023，每一个从中的所有元素之积为，则= ．
2．如图1, ⊙o的半径为，d, b, c为⊙o上的三点，∠boc=120°,dc=db+1,则db= ．
3．已知，则= ．
4．若实数满足，则的取值范围是 ．
5．所有能使为质数的正整数的倒数和为 ．
6．已知函数对任意的恒有意义，则实数的取值范围 ．
7．设三位数，若以为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，这样的三位数有个．
8．一个正三棱锥的体积为，则它的表面积的最小值为 ．
二、解答题：共56分，第9题16分，第题各20分．
9．在椭圆中，ab 是长为的弦，o为坐标原点，求的面积s的取值范围．
10．设二次函数的图象过点o (0,0)，且满足．数列满足：．
l)确定的表达式；
2)证明：；
3)证明：．
11．已知，且满足，求 k 的最小值．参***。
2．4．连接bc．在△abc中，由余弦定理可得。
设，则． 在△dbc中，由余弦定理可得，解得或（舍去）.
3．．在由已知等式可得。所以．又。
所以．4．（-l, 1)．令，则。
5．．时，都不是质数； =4时， =3是质数； =5时， =5是质数； =6 时， =7是质数．
当时，可设（其中丧为不小于2的正整数， =0,1，或2)，则。
所以，因为，所以， 所以不是质数．
因此，能使为质数的正整数，只有4, 5, 6，它们的倒数和为．
6．．显然且．由题意知对一切恒成立，即对一切恒成立．
令，则，显然，对一切，，所以函数在上单调递减，因此，当时，，即．因此，．
综合可知：实数的取值范围是．
7．165．（2023年全国联赛题）解：a，b，c要能构成三角形的边长，显然均不为0．即．
1）若构成等边三角形，设这样的三位数的个数为，由于三位数中三个数码都相同，所以，．
2）若构成等腰（非等边）三角形，设这样的三位数的个数为，由于三位数中只有2个不同数码．设为a、b，注意到三角形腰与底可以置换，所以可取的数码组（a，b）共有．但当大数为底时，设a>b，必须满足．此时，不能构成三角形的数码是。
共20种情况．
同时，每个数码组（a，b）中的二个数码填上三个数位，有种情况．
故。 综上，．
8.．设三棱锥的底面正三角形的边长为，斜高为，侧面与底面所成角为，易知，正三棱锥的高．
因为正三棱锥的体积为，所以．即。
所以．正三棱锥的表面积。
记，令，则，当且仅当，即时取等号。
因此，，所以，故s的最小值为．
9．设，则，整理得：，从而．
又直线ab的方程为：
所以点o到ab的距离为：
故．10. (1)设，由可得．
由可得，故，即，所以。
再由恒成立可得，故。
2)，下用数学归纳法证明。
时显然成立；
假设时，，则时，.
综上，时，.
故，即。3)由（2）知，，，且。
即。故，所以．
易证，故，从而．
11．解法1由均值不等式得，于是，
100，当且仅当时取等号， 故k的最大值为100．
解法2令，则，当且仅当时取等号；
由原不等式可得对所有成立，因此k不超过右边的最小值！
(最后一个≥是依据平均值不等式！)
当且仅当t=4时取等号．
综上，当且仅当时，取得最小值100，因此，k的最大值为100．
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