2024年数学一真题

一、填空题：（本题共有5个小题，每小题3分，满分15分）

1) 已知，则有。

2) 设是连续函数，且，则。

3) 设平面曲线为小半圆周，则曲线积分。

4) 向量场在点处的散度。

5) 设矩阵。则逆矩阵。

二、选择题：（本题共有5个小题，每小题3分，满分15分）

1) 当时，曲线（ ）

有且仅有水平渐近线有且仅有铅直渐近线

即有水平渐近线，也有铅直渐近线即无水平渐近线，也无铅直渐近线。

2) 已知曲线上点处的切平面平行于平面则点的坐标是（ ）

3) 设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程组的解，（为任意常数）则该非齐次方程的通解是（ ）

4) 设，而，其中。

则等于（ ）

5) 设是阶矩阵，且的行列式，则中（ ）

必有一列元素全为必有两列元素对应成比例

必有一列向量是其余列向量的线性组合任一列向量是其余列向量的线性组合。

三、（本题满分15分，每小题5分）

1) 设其中函数二阶可导，具有连续的二阶偏导数，求。

2) 设曲线积分与路径无关，其中具有连续的导数，且计算的值。

3) 计算三重积分其中是由曲面与所围成的区域。

四、（本题满分6分）

将函数展为的幂级数。

五、（本题满分7分）

设其中为连续函数，求。

六、（本题满分7分）

证明方程在区间有且仅有两个不同实根。

七、（本题满分6分）

问为何值时，线性方程组。

有解，并求出解的一般形式。

八、（本题满分8分）

假设为阶可逆矩阵的一个特征值，证明：

1) 为的特征值。

2) 为的伴随矩阵的特征值。

九、（本题满分9分）

设半径为的球面的球心在定球面上，问当为何值时，球面在定球面内部的那部分的面积最大？

十、填空题（本题满分6分，每小题2分）

1) 已知随机事件的概率随机事件的概率及条件概率则和事件。

2) 甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为和，现已知目标被命中，则它是甲命中的概率为。

3) 若随机变量在上服从均匀分布，则方程有实根的概率是。

十一、（本题满分6分）

设随机变量与独立，且服从均值为，标准差（均方差）为的正态分布，而服从标准正态分布，试求的概率密度函数。

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一 填空题 本题共有5个小题，每小题3分，满分15分 1 设函数由方程确定，则。2 函数在点处的梯度。3 设则其以为周期的傅里叶级数在点处。4 微分方程的通解。5 设其中则矩阵的秩。二 选择题 本题共有5个小题，每小题3分，满分15分 1 当时，函数的极限 等于等于为不存在但不为 2 级数 常数 发...

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一 填空题 本题共有5个小题，每小题3分，满分15分 1 设则。2 由方程所确定的函数在点的全微分。3 已知两条直线的方程是则过且平行于的平面方程是。4 已知当时，与是等价无穷小，则常数。5 设四阶方阵则的逆矩阵。二 选择题 本题共有5个小题，每小题3分，满分15分 1 曲线 没有渐近线仅有渐近线。...

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一 填空题 本题共有5个小题，每小题3分，满分15分 1 函数 的单调减少区间为。2 由曲线绕轴旋转一周得到的旋转面在点外指向外侧的单位法向量为。3 设函数 的傅里叶级数展开式为。则其中系数的值为。4 设数量场则。5 设阶矩阵的各行元素之和均为零，且的秩为，则线性方程组的同解为。二 选择题 本题共有...