高等数学历年真题。
第一章函数、极限与连续。
1-1(2024年，5分)设函数，且求及其定义域。
1-2(2024年，3分)设函数则。
1-3(2024年，3分)设是非零常数，则。
1-4(2024年，3分)已知当时，与是等价无穷小，则常数。
1-5(2024年，5分)求极限。
1-6(2024年，3分)当时，函数的极限( )
等于2 等于0 为不存在但不为。
1-7(2024年，5分)求极限。
1-8(2024年，5分)设，其中则必有( )
1-9(2024年，3分)极限。
1-10(2024年，3分)设，则。
1-11(2024年，5分)设试证数列极限存在，并求此极限。
1-12(2024年，3分)极限。
1-13(2000,5分)求极限。
1-14(2024年，4分)极限。
1-15(2024年，4分)设均为非负数列，且则必有( )
对任意成立对任意成立。
极限不存在极限不存在
1-16(2024年，3分)极限。
1-17(2024年，12分)设数列满足。
ⅰ)证明存在，并求该极限；
ⅱ)计算。1-18(2024年，4分)当时，与等价的无穷小量是( )
1-19(2024年，9分)求极限。
1-20(2024年，4分)设函数在内单调有界，为数列，下列命题正确的是( )
若收敛，则收敛若单调，则收敛。
若收敛， 则收敛若单调，则收敛。
1-21(2024年，4分)当时，与是等价无穷小，则( )
1-22(2024年，4分)极限( )
1-23(2024年，10分)
ⅰ)证明：对任意的正整数，都有成立。
ⅱ)设(),证明数列收敛。
1-24(2024年，10分)求极限。
第二章一元函数微分学。
2-1(2024年，3分)当时，函数取得极小值。
2-2(2024年，3分)设，则在处( )
)的导数存在，且 ()取得极大值
)取得极小值的导数不存在。
2-3(2024年，10分)设函数在闭区间上可微，对于上的每一个，函数的值都在开区间内，且，证明在区间内有且仅有一个，使得。
2-4(2024年，3分)若，则。
2-5(2024年，3分)设可导且，则时，在点处的微分是( )
)与等价的无穷小 ()与同阶的无穷小。
)比低阶的无穷小 ()比高阶的无穷小。
2-6(2024年，3分)设是方程的一个解，且， ,则函数在点处( )
)取得极大值 ()取得极小值 ()某邻域内单调增加 ()某领域内单调减少。
2-7(2024年，3分)已知则。
2-8(2024年，3分)当时，曲线( )
)有且仅有水平渐近线有且仅有铅直渐近线
)既有水平渐近线，也有铅直渐近线 ()既无水平渐近线，也无铅直渐近线。
2-9(2024年，3分)已知具有任意阶导数，且，则当为大于的正整数时，的阶导数为( )
2-10(2024年，3分)已知在的某个邻域内连续，且则在处( )
) 不可导 ()可导且 ()取得极大值 ()取得极小值。
2-11(2024年，7分)设不恒为常数的函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且。证明： 至少，使得。
2-12(2024年，3分)设，则。
2-13(2024年，3分) 曲线( )
)没有渐近线仅有水平渐近线
)仅有铅直直渐近线即有水平渐近线，又有铅直渐近线。
2-14(2024年，3分)设函数由方程确定，则。
2-15(2024年，3分)设，则使存在的最高阶数为( )
2-16(2024年，5分)求。
2-17(2024年，7分) 设， ,证明对任意，有。
2-18(2024年，5分)设在上函数有连续导数，且，证明在内有且仅有一个零点。
2-19(2024年，5分)设，证明。
2-20(2024年，3分).
2-21(2024年，3分)设在上，则或的大小顺序是( )
2-22(2024年，3分)设可导， =1+) 则是在处可导的( )
) 充要条件 ()充分非必要条件 ()必要非充分条件 ()既非充分也非必要条件。
2-23(2024年，8分)假设函数和在上存在二阶导数，并且，试证：
1)在开区间内。
2)在开区间内至少存在一点，使。
2-24(2024年，3分)设在的某领域内有二阶连续导数，且， ,则( )
)是的极大值 ()是的极小值
)是曲线的拐点
)不是的极值，也不是是曲线的拐点。
2-25(2024年，8分)设在上二阶可导，且满足条件，其中都是非负常数，是内任一点。证明：
2-26(2024年，3分)对数螺线在点处的切线的直角坐标方程为。
2-27(2024年，3分).
2-28(2024年，3分)函数不可导点的个数是( )
2-29(2024年，3分).
2-30(2024年，6分)试证：当时，
2-31(2024年，3分)设是恒大于零的可导函数，且则当时，有( )
2-33(2024年，3分)设，则在处可导的充要条件是( )
)存在 ()存在。
)存在 ()存在。
2-34(2024年，7分)设在内具有二阶连续导数，且试证：
1)对于内的任一，存在唯一的使成立；
2-35(2024年，3分)已知函数由方程确定，则。
2-36(2024年，3分)设函数在内有界且可导，则( )
) 当时，必有。
)当存在时，必有。
)当时，必有。
)当存在时，必有。
2-37(2024年，6分)设函数在某邻域内有一阶连续导数，且若在时是比高阶的无穷小，试确定的值。
2-38(2024年，4分)设函数在内连续，其导函数的图形如图所示，则有( )
) 一个极小值点和两个极大值点 ()两个极小值点和一个极大值点。
) 两个极小值点和两个极大值点 ()三个极小值点和一个极大值点。
2-39(2024年，4分)曲线上与直线垂直的切线方程为。
2-40(2024年，4分)设函数连续，且，则存在，使得( )
)在内单调增加在内单调减少。
)对任意的有 ()对任意的有。
2-41(2024年，12分)设，证明：.
2-42(2024年，4分)曲线的斜渐近线方程为。
2-43(2024年，4分)设函数，则在内( )
) 处处可导恰有一个不可导点。
恰有两个不可导点 ()至少有三个不可导点。
2-44(2024年，12分)设函数在上连续，在内可导，且。证明：
ⅰ)至少，使；
ⅱ)存在两个不同的点使。
2-45(2024年，4分)设函数具有二阶导数，且为自变量在处的增量，与分别为在点处对应的增量和微分，若，则( )
2-46(2024年，4分)设函数在处连续，下列命题错误的是( )
)若存在，则。
)若存在，则
)若存在，则存在。
)若存在，则存在。
2-47(2024年，4分)曲线渐近线的条数为( )
2-48(2024年，4分)设函数在上具有二阶导数，且，令(),则下列结论正确的是( )
)若，则必收敛 ()若，则必发散。
)若，则必收敛 ()若，则必发散。
2-49(2024年，11分)设函数在上连续，在内具有二阶导数且存在相等的最大值， .证明：存在使得。
2-50(2024年，4分)曲线在点处的切线方程是。
2-51(2024年，4分)设函数则的零点个数为( )
2-52(2024年，11分)(ⅰ证明拉格朗日中值定理：若函数在上连续，在内可导，则存在，使得。
ⅱ)证明：若函数在处连续，在()内可导，且，则存在，且。
2-53(2024年，4分)设，则。
2-54(2024年，10分)求函数的单调区间与极值。
2-55(2024年，4分)曲线的拐点是( )
2-56(2024年，10分)求方程不同实根的个数，其中为参数。
2-57(2024年，4分)曲线的渐近线的条数为( )
2-58(2024年，4分)设函数，其中为正整数，则( )
2-59(2024年，分)证明：当时，有。
第三章一元函数积分学。
3-1(2024年，3分)由曲线与两直线及所围成的平面图形的面积是 .
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