一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．
．设函数在上连续，其二阶导数的图形如右图所示，则曲线在的拐点个数为。
a）0b）1 （c）2d）3
详解】对于连续函数的曲线而言，拐点处的二阶导数等于零或者不存在．从图上可以看出有两个二阶导数等于零的点，以及一个二阶导数不存在的点．但对于这三个点，左边的二阶导数等于零的点的两侧二阶导数都是正的，所以对应的点不是拐点．而另外两个点的两侧二阶导数是异号的，对应的点才是拐点，所以应该选（c）
2．设是二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解，则
a） （b）
c） （d）
详解】线性微分方程的特征方程为，由特解可知一定是特征方程的一个实根．如果不是特征方程的实根，则对应于的特解的形式应该为，其中应该是一个零次多项式，即常数，与条件不符，所以也是特征方程的另外一个实根，这样由韦达定理可得，同时是原来方程的一个解，代入可得应该选（a）
．若级数条件收敛，则依次为级数的。
ａ）收敛点，收敛点收敛点，发散点。
ｃ）发散点，收敛点发散点，发散点。
详解】注意条件级数条件收敛等价于幂级数在处条件收敛，也就是这个幂级数的收敛为，即，所以的收敛半径，绝对收敛域为，显然依次为收敛点、发散点，应该选（b）
．设d是第一象限中由曲线与直线所围成的平面区域，函数在d上连续，则（ ）
详解】积分区域如图所示，化成极坐标方程：
也就是d：
所以，所以应该选（b）．
5．设矩阵，若集合，则线性方程组有无穷多解的充分必要条件是。
ab）cd）
详解】对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换：
方程组无穷解的充分必要条件是，也就是同时成立，当然应该选（d）．
6．设二次型在正交变换下的标准形为，其中，若，则在下的标准形为。
ab）cd）
详解】， 所以。
故选择（a）．
7．若为任意两个随机事件，则（ ）
abc） （d）
详解】所以故选择（c）．
8．设随机变量不相关，且，则（ ）
a） （bcd）
详解】故应该选择（d）．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分。 把答案填在题中横线上）
详解】．
详解】只要注意为奇函数，在对称区间上积分为零，所以。
11．若函数是由方程确定，则。
详解】设，则。
且当时，，所以。
也就得到。12．设是由平面和三个坐标面围成的空间区域，则。
详解】注意在积分区域内，三个变量具有轮换对称性，也就是。
13．阶行列式。
详解】按照第一行展开，得，有。
由于，得．14．设二维随机变量服从正态分布，则。
详解】由于相关系数等于零，所以x，y都服从正态分布，，且相互独立．
则．三、解答题。
15．（本题满分10分）设函数，在时为等价无穷小，求常数的取值．
详解】当时，把函数展开到三阶的马克劳林公式，得。
由于当时，是等价无穷小，则有，解得，
16．（本题满分10分）
设函数在定义域上的导数大于零，若对任意的，曲线在点处的切线与直线及轴所围成区域的面积恒为4，且，求的表达式．
详解】在点处的切线方程为。
令，得。曲线在点处的切线与直线及轴所围成区域的面积为。
整理，得，解方程，得，由于，得。
所求曲线方程为。
17．（本题满分10分）
设函数，曲线，求在曲线上的最大方向导数．
详解】显然．
在处的梯度。
在处的最大方向导数的方向就是梯度方向，最大值为梯度的模。
所以此题转化为求函数在条件下的条件极值．用拉格朗日乘子法求解如下：
令。解方程组，得几个可能的极值点，进行比较，可得，在点或处，方向导数取到最大，为。
18．（本题满分10分）
1）设函数都可导，利用导数定义证明；
2）设函数都可导，，写出的求导公式．
详解】（1）证明：设。
由导数的定义和可导与连续的关系。
19．（本题满分10分）
已知曲线l的方程为，起点为，终点为，计算曲线积分．
详解】曲线l的参数方程为。
起点对应，终点为对应．
20．（本题满分11分）
设向量组为向量空间的一组基，．
1）证明：向量组为向量空间的一组基；
2）当为何值时，存在非零向量，使得在基和基下的坐标相同，并求出所有的非零向量。
详解】（1），因为，且显然线性无关，所以是线性无关的，当然是向量空间的一组基．
2）设非零向量在两组基下的坐标都是，则由条件。
可整理得：，所以条件转化为线性方程组。
存在非零解．
从而系数行列式应该等于零，也就是。
由于显然线性无关，所以，也就是．
此时方程组化为，由于线性无关，所以，通解为，其中为任意常数．
所以满足条件的其中为任意不为零的常数．
21．（本题满分11分）
设矩阵相似于矩阵．
1）求的值；
2）求可逆矩阵，使为对角矩阵．
详解】（1）因为两个矩阵相似，所以有，．
也就是．2）由，得a，b的特征值都为。
解方程组，得矩阵a的属于特征值的线性无关的特征向量为；
解方程组得矩阵a的属于特征值的线性无关的特征向量为。
令，则。22．（本题满分11分）设随机变量x的概率密度为。
对x进行独立重复的观测，直到第2个大于3的观测值出现时停止，记为次数．
求的分布函数；
1） 求的概率分布；
2） 求数学期望。
详解】（1）x进行独立重复的观测，得到观测值大于3的概率为。
显然y的可能取值为。
且。2）设。
23．（本题满分11分）
设总体的概率密度为。
其中为未知参数，是来自总体的简单样本．
1）求参数的矩估计量；
2）求参数的最大似然估计量．
详解】（1）总体的数学期望为。
令，解得参数的矩估计量：．
2）似然函数为。
显然是关于的单调递增函数，为了使似然函数达到最大，只要使尽可能大就可以，所以。
参数的最大似然估计量为。
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