2013硕士研究生入学考试数学一真题及解析。
1. 已知极限，其中k，c为常数，且，则（）
a. b. c. d.
答案（d）因此，即。
2.曲面在点处的切平面方程为（ ）
a. b. c. d.
答案（a）法向量。
切平面的方程是：，即。
3.设，，令，则（ ）
abcd.
答案（c）将函数在展开成傅里叶级数（只含正弦项），做两次延拓函数后：
它的傅里叶级数的和函数以2为周期的奇函数。
则当且在处连续时，。。
4.设，，，
为四条逆时针方向的平面曲线，记，则。
abcd 答案（d）
由格林公式，
在内，因此。
且故。5.设a,b,c均为n阶矩阵，若ab=c，且b可逆，则（ ）
a.矩阵c的行向量组与矩阵a的行向量组等价。
b矩阵c的列向量组与矩阵a的列向量组等价。
c矩阵c的行向量组与矩阵b的行向量组等价。
d矩阵c的列向量组与矩阵b的列向量组等价。
答案（b）6.矩阵与相似的充分必要条件为（ ）
a. b.为任意常数
c. d.为任意常数。
答案（b）7.设是随机变量，且，，，则（ ）
a. b. c. d
答案（a）8.设随机变量，，给定，常数c满足，则。
a. b. c. d
答案（c）二(9)设函数由方程确定，则＝ 1 。
10)已知，,是某二阶常系数。
非齐次线性微分方程的3个解，则该方程的通解 。
11）设 。
12） ln2 。
13）设a=(aij)是3阶非零矩阵，为a的行列式，aij为aij的代数余子式。
若aij+aij=0(i，j=1,2,3），则｜a｜＝ 1 。
14）设随机变量y服从参数为1的指数分布，a为常数且大于零，则p=
注这个结论表明：服从指数分布的产品的”寿命(y)”
无论它已经使用了多长时间，它还能再使用t个时间段。
的概率与一件新产品能使用t个时间段的概率一样。
指数分布的这个性质称为“无记忆性”.
三．（15）计算，其中
解：使用分部积分法和换元积分法。
16)设数列｛an｝满足条件：
s（x）是幂级数。
1）证明：
2）求。i)证明：由题意得。
即 ii) 解方程：其特征方程为，由，
所以。17）求函数。
先求驻点，令。
解得。为了判断这两个驻点是否为极值点，求二阶导数。
在点处， 因为，所以不是极值点。
类似的，在点处，
因为，所以是极小值点，极小值为。
(18)设奇函数在上具有二阶导数，且，证明：
i）存在。ⅱ）存在。证明（i）
由（i）所证， 存在。
注意到是偶函数（）
故也有所以有。
由罗尔定理存在。
19.设直线l过a（1,0,0），b（0,1,1）两点将l绕z轴旋转一周得到曲面，与平面所围成的立体为。
1） 求曲面的方程；
2） 求的形心坐标。
20.设，当a,b为何值时，存在矩阵c使得ac-ca=b,并求所有矩阵c。
令，则 ，则由得。
此为4元非齐次线性方程组，欲使存在，此线性方程组必须有解，于是。
所以，当时，线性方程组有解，即存在，使。
又 ,所以
21.设二次型，记，。
1） 证明二次型f对应的矩阵为；
2） 若正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为。
22.设随机变量x的概率密度为。
令随机变量。
1） 求y的分布函数；
2） 求概率。
23.设总体x的概率密度为其中为未知参数且大于零，为来自总体x的简单随机样本。
1） 求的矩估计量；
2） 求的最大似然估计量。
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