总分：100.00，做题时间：90分钟)
一、解答题(总题数：21，分数：100.00)
1.证明：当a 2 -3b＜0时，实系数方程x 3 +ax 2 +bx+c=0只有唯一的实根．
分数：4.00）
2.描绘函数（分数：4.00）
3.求界于两椭圆（分数：4.00）
4.从抛物线y=x 2 -1上的点p引抛物线y=x 2 的切线，证明该切线与y=x 2 所围成的面积与p点的位置无关．
分数：4.00）
5.求双纽线ρ 2 =2a 2 cos2θ(a＞0)所围图形的面积．
分数：4.00）
6.求摆线的一拱与x轴所围图形的面积．
分数：4.00）
7.求两曲线及所围图形公共部分的面积(如下图所示)．
分数：4.00）
8.一平面经过半径为r的圆柱体的底圆中心并与底面交成角α，计算圆柱体被该平面截割下的那部分体积．
分数：4.00）
9.过点p(1，0)作抛物线的切线，该切线与上述抛物线及x轴围成一平面图形(如图所示)，求此图形绕x轴旋转一周所成的旋转体体积．
分数：4.00）
10.求星形线（分数：4.00）
11.求曲线y=ln(1-x 2 )上相应于（分数：4.00）
12.求摆线（分数：4.00）
13.过原点作曲线（分数：4.00）
14.求曲线（分数：4.00）
15.由抛物线y=x 2 及y=4x 2 绕y轴旋转一周构成一旋转抛物面的容器(剖面如图所示)，高为h．现于其中盛水，水高问要将水全部抽出，外力需做多少功？
分数：4.00）
16.半径为r，比重为σ(大于1)的球沉入深为h(大于2r)的水池底，现将其从水中取出，需做多少功？
分数：4.00）
17.边长为a和b的矩形薄板(a＞b)，放置于与液面成α角的液体内，长边平行于液面，位于深h处，设液体的比重为σ，求薄板所受的压力p．
分数：4.00）
18.某闸门的形状与大小如图1所示，其中直线l为对称轴，闸门的上部为矩形abcd，下部由二次抛物线与线段ab所围成．当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为5:4，闸门矩形部分的高h应为多少m?
分数：4.00）
设有一质量均匀的细直杆ab，其长为l，质量为m．（分数：8.00）
1).在ab的延长线上与端点b的距离a处有一质量为m的质点n 1 ，试求细杆对点n 1 的引力；（分数：4.00）
2).在ab的中垂线上到杆的距离为a处有一质量为m的质点n 2 ，试求细杆对点n 2 的引力．（分数：4.00）
函数f(x)对于一切实数x满足微分方程
xf"(x)+3x[f"(x)] 2 =1-e -x ， 分数：8.00）
1).若f(x)在点x=c(c≠0)有极值，试证它是极小值；（分数：4.00）
2).若f(x)在点x=0有极值，则它是极大值还是极小值？（分数：4.00）
19.设（分数：12.00）
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