乌鲁木齐地区2023年高三年级第一次诊断性测验。
文理科数学试题参***及评分标准。
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）
1.（文科）选b.【解析】∵，
理科）选a.【解析】．
2．（文科）选a.【解析】．
理科）选c.【解析】由集合概念知：存在且，故排除a、b；若，或，或时，均有，不合题意，故排除d；若，或时，均符合题意。
3．选b.【解析】根据题意，它是一个圆柱和一个的球的组合体。
4．选a.【解析】由三角函数定义得点，它在直线上，，即，两边平方，化简得。
5．选c.【解析】作出可行区域，如图，.
6．选a. 【解析】∵，
7．选b.【解析】，当时，未必是一次函数，但当为一次函数时，有且．
8．（文科）选b.【解析】由几何概型知．
理科）选b.【解析】，由几何概型知点落入阴影部分的概率为，故的值会稳定于．
9． 选b.【解析】∵，且，∴当，，函数递增；，，函数递减。而时，∴函数的零点只有1个，即。
10．选c.【解析】与圆相切且在两坐标轴上截距相等的直线可分为两类：①截距为时，可设直线方程为，由，解得；②截距不为时，可设直线方程为，由，解得．因此符合题意的直线共有4条．
11．（文科）选d.【解析】，其图象向左平移个单位得到函数，要使其为奇函数，只需，即，∴，又，∴当时，取最小值．
理科）选b.【解析】由题知：令时有，解得，．
12．选d.【解析】如图，∵，在上取一点。
使，则题中的角可用表示．
在△中，解得，于是，．
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13． 填。【解析】∵，不妨设双曲线方程为，由对称性知，焦点到渐近线的距离．
14．填。【解析】经过次循环，，，时，15．填。【解析】由题知：是的中点，又，∴在△中，，∴
16．（文科)填。【解析】．
理科)填。【解析】由题设知，故．
三、解答题（共6小题，共70分）
17．（本小题满分12分）
文科）黑球记为，白球记为，红球记为，按游戏规则可以表示为：
则基本事件共30个，（1）“甲、乙配对成功”的概率6分。
（2）甲、乙两人中至少有一人摸到白球的概率12分。
理科）15分。
2）的可能取值是，，．
时同问题（1），即；
∴的分布列为
12分。18．（本小题满分12分）
1）∵三棱柱为直三棱柱，∴．
又，∴，而，∴；6分。
2）（文科）
取的中点，连结，则，∴．
∴，故12分。
理科）如图所示，建立空间直角坐标系，可取为平面的一个法向量．设平面的一个法向量为．则，，其中，∴ 不妨取，则．
二面角的余弦值的大小是12分。
19．（本小题满分12分）
1）由已知，，∴又，由已知，∴，即，而，所以6分。
2）由已知，代入中，得．
在△中，由余弦定理得：，当且仅当，即时，等号成立，此时的最小值是12分。
20.（本小题满分12分）
1）点不满足，∴在椭圆上，∴，由椭圆性质知：≤，而，∴点在抛物线上，由，解得 ．
又点只能在椭圆上，∴，椭圆的方程为，抛物线的方程为6分。
2）（文科）
当直线的斜率不存在时，、两点关于轴对称，显然有。
成立；当直线的斜率存在时，设其方程为且，由消去得：，设，，则．
而直线、的斜率分别为，．
于是 不妨设，则，．
则12分。理科）
设，，又，，联立直线，的方程。
消去得 （*
由消去得 ．
则消去得．代入（*）得 ．
两直线、的交点在抛物线的准线上12分。
21.（本小题满分12分）
1）显然，因此，∴或．
当时，易知，或，则在上单调．所以。
由题意，解得，或（舍去）．
当时，不合题意．
综上：，∴的解析式为6分。
2）由（1）知：，于是在上单调递减，则。
≤，即．由题意可知：即要使时满足≤，且≥．
而≥，故在上单调递增．
≤，且 ≥．
解得 ≤，或12分。
请考生在第题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲。
1）连结，，又，∴．
是的切线，∴在△中，是斜边上的中线．，∴5分。
2）由题意知：、、四点共圆，∴．
由（1）知：，∴而是的切线，
弦切角10分。
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程。
1）设点，，则由已知：
而满足故得：
为参数）为所求曲线的方程5分。
2）曲线的极坐标方程为，在曲线上，所以．
曲线的极坐标方程为， 将代入曲线的极坐标方程中，得 ，即10分。
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲。
1）不等式可化为：≥，解得 ≥，或≤．
故不等式≥ 的解集为≥，或5分。
2）由≥，得 ≥．可化为不等式组。
或即或。不等式组的解集为≤≤．
依题意令解得10分。
以上各题的其它解法，限于篇幅，从略．请相应评分。
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