海淀18. （本小题共13分）
已知函数，ⅰ）若，求函数的极值；
ⅱ）设函数，求函数的单调区间；
ⅲ)若在（）上存在一点，使得成立，求的取值范围。
海淀19. （本小题共14分）
已知椭圆经过点其离心率为。
（ⅰ）求椭圆的方程；
ⅱ)设直线与椭圆相交于a、b两点，以线段为邻边作平行四边形oapb，其中顶点p在椭圆上，为坐标原点。求的取值范围。
18. （共13分）
解：（ⅰ的定义域为1分。
当时2分[**。
………3分[**：学。科。网z。x。x。k]所以在处取得极小值14分。
ⅱ），6分。
当时，即时，在上，在上，所以在上单调递减，在上单调递增7分。
当，即时，在上，[**：学*科*网]
所以，函数在上单调递增8分。
iii）在上存在一点，使得成立，即。
在上存在一点，使得，即。
函数在上的最小值小于零9分。
由（ⅱ）可知。
即，即时， 在上单调递减，所以的最小值为，由可得，因为，所以10分。
当，即时， 在上单调递增，所以最小值为，由可得11分。
当，即时， 可得最小值为，
因为，所以，
故 此时，不成立12分。
综上讨论可得所求的范围是：或13分。
19. （共14分）
解：（ⅰ由已知可得，所以1分。
又点在椭圆上，所以2分。
由①②解之，得**：学科网]
故椭圆的方程为5分。
(ⅱ)当时，在椭圆上，解得，所以。 …6分。
当时，则由
消化简整理得：，8分。
设点的坐标分别为，则。
……9分。
由于点在椭圆上，所以10分。
从而，化简得，经检验满足③式。 …11分。
又。12分。
因为，得，有，故13分。
综上，所求的取值范围是14分。
ⅱ)另解：设点的坐标分别为，由在椭圆上，可得6分。
—②整理得7分。
由已知可得，所以8分。
由已知当 ,即9分。
把④⑤⑥代入③整理得10分。
与联立消整理得11分。
由得，所以12分。
因为，得，有，故13分。
所求的取值范围是14分。
西城18. （本小题满分14分）
已知函数，其中。
ⅰ）求函数的单调区间；
ⅱ）若直线是曲线的切线，求实数的值；
ⅲ）设，求在区间上的最大值。
其中为自然对数的底数）
西城19. （本小题满分14分）
已知抛物线的焦点为，过的直线交轴正半轴于点，交抛物线于两点，其中点在第一象限。
ⅰ）求证：以线段为直径的圆与轴相切；
ⅱ）若，，求的取值范围。
18. （本小题满分14分）
解3分。在区间和上，；在区间上，.
所以，的单调递减区间是和，单调递增区间是。 …4分。
ⅱ）设切点坐标为，则7分（1个方程1分）
解得8分。ⅲ），则9分。
解，得，所以，在区间上，为递减函数，在区间上，为递增函数10分。
当，即时，在区间上，为递增函数，所以最大值为11分。
当，即时，在区间上，为递减函数，所以最大值为12分。
当，即时，的最大值为和中较大者；
解得，所以，时，最大值为13分。
时，最大值为14分。
综上所述，当时，最大值为，当时，的最大值为。
19. （本小题满分14分）
解：（ⅰ由已知，设，则，圆心坐标为，圆心到轴的距离为2分。
圆的半径为4分。
所以，以线段为直径的圆与轴相切5分。
ⅱ）解法一：设，由，得。
6分。所以，8分。
由，得。又，所以10分。
代入，得，整理得12分。
代入，得，所以13分。
因为，所以的取值范围是14分。
解法二：设，将代入，得，所以6分。
由，，得。7分。
所以，8分。
将代入（*）式，得10分。
所以12分。
代入，得13分。
因为，所以的取值范围是14分。
东城（18）（本小题共13分）
已知函数．ⅰ）求函数在区间上的最小值；
ⅱ）证明：对任意，都有成立．
东城(19) （本小题共13分）
已知椭圆的离心率为，且两个焦点和短轴的一个端点是一个等腰三角形的顶点．斜率为的直线过椭圆的上焦点且与椭圆相交于，两点，线段的垂直平分线与轴相交于点．
ⅰ）求椭圆的方程；
ⅱ）求的取值范围；
ⅲ）试用表示△的面积，并求面积的最大值．
朝阳（18）（共13分）
ⅰ）解：由，可得．
当单调递减，当单调递增。
所以函数在区间上单调递增，又，[**：学科网zxxk]所以函数在区间上的最小值为．
ⅱ）证明：由（ⅰ）可知在时取得最小值，又，可知．由，可得．所以当单调递增，当单调递减。
所以函数在时取得最大值，又，可知，所以对任意，都有成立．朝阳（19）（共13分）
解：（ⅰ依题意可得，又，可得．
所以椭圆方程为．
（ⅱ）设直线的方程为，由可得．
设，则，．可得．
设线段中点为，则点的坐标为，由题意有，可得．可得，又，所以．[**：学科网]
ⅲ）设椭圆上焦点为，则。
由，可得．所以．
又，所以。所以△的面积为（）．
设，则．可知在区间单调递增，在区间单调递减．所以，当时，有最大值．[**：z*xx*
所以，当时，△的面积有最大值．
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