1. 如图，在平面直角坐标系xoy中，二次函数的图象与轴交于（-1,0）、（3,0）两点， 顶点为。
1) 求此二次函数解析式；
2) 点为点关于x轴的对称点，过点作直线：交bd于点e，过点作直线∥交直线于点。问：
在四边形abkd的内部是否存在点p，使得它到四边形abkd四边的距离都相等，若存在，请求出点p的坐标；若不存在，请说明理由；
3) 在（2）的条件下，若、分别为直线和直线上的两个动点，连结、、，求和的最小值。
解：(1) ∵点a、b的坐标分别为（-1,0）、（3,0），∴
解得。∴ 二次函数解析式为。
2分。（2）可求点c的坐标为（1，）
点d的坐标为（1，）.
可求直线ad的解析式为。
由题意可求直线bk的解析式为。
直线的解析式为，
可求出点k的坐标为(5,).
易求。 四边形abkd是菱形。
菱形的中心到四边的距离相等， 点p与点e重合时，即是满足题意的点，坐标为（25分。
(3) ∵点d、b关于直线ak对称，∴的最小值是。
过k作kf⊥x轴于f点。
过点k作直线ad的对称点p,连接kp,交直线ad于点q,∴ kp⊥ad.
∵ ak是∠dab的角平分线，.
∴的最小值是。
即bp的长是的最小值。
∵ bk∥ad,∴.
在rt△bkp中，由勾股定理得bp=8.
∴的最小值为88分。
2．平面直角坐标系xoy中，抛物线与x轴交于点a、点b，与y轴的正半轴交于点c，点 a的坐标为(1, 0)，ob=oc，抛物线的顶点为d．
(1) 求此抛物线的解析式；
(2) 若此抛物线的对称轴上的点p满足∠apb=∠acb，求点p的坐标；
(3) q为线段bd上一点，点a关于∠aqb的平分线的对称点为，若，求点q的坐标和此时△的面积．
解：（1）∵，抛物线的对称轴为直线．
抛物线与x轴交于。
点a、点b，点a的坐标为， 点b的坐标为，ob＝3．……1分。
可得该抛物线的解析式为．
ob=oc，抛物线与y轴的正半轴交于点c， oc=3，点c的坐标为．
将点c的坐标代入该解析式，解得a=1．……2分。
此抛物线的解析式为．（如图93分。
（2）作△abc的外接圆☉e，设抛物线的对称轴与x轴的交点为点f，设☉e与抛物线的对称轴位于x轴上方的部分的交点为点，点关于x轴的对称点为点，点、点均为所求点。（如图10）
可知圆心e必在ab边的垂直平分线即抛物线的对称轴直线上．
、都是弧ab所对的圆周角，，且射线fe上的其它点p都不满足．
由（1）可知 ∠obc=45°，ab=2，of=2．
可得圆心e也在bc边的垂直平分线即直线上．
点e的坐标为4分。
由勾股定理得．
点的坐标为5分。
由对称性得点的坐标为6分。
符合题意的点p的坐标为、.
3）∵ 点b、d的坐标分别为、，可得直线bd的解析式为，直线bd与x轴所夹的锐角为45°．
点a关于∠aqb的平分线的对称点为，（如图11）
若设与∠aqb的平分线的交点为m，则有，，，q，b，三点在一条直线上．，作⊥x轴于点n．
点q**段bd上， q，b，三点在一条直线上，，．
点的坐标为．
点q**段bd上， 设点q的坐标为，其中．， 由勾股定理得．
解得．经检验，在的范围内．
点q的坐标为7分。
此时．… 8分。
3．如图⑴，在平面直角坐标系中，o为坐标原点，抛物线y=ax2＋8ax＋16a＋6经过点b（0，4）.
求抛物线的解析式；
设抛物线的顶点为d，过点d、b作直线交x轴于点a，点c在抛物线的对称轴上，且c点的纵坐标为-4，联结bc、ac.求证：△abc是等腰直角三角形；
在⑵的条件下，将直线db沿y轴向下平移，平移后的直线记为l ，直线l 与x轴、y轴分别交于点a′、b′，是否存在直线l，使△a′b′c是直角三角形，若存在求出l 的解析式，若不存在，请说明理由．
⑴解：由题意知：
解得： ∴抛物线的解析式为： -1分。
证明 ：由抛物线的解析式知：顶点d坐标为（－4,6）
∵点c的纵坐标为－4，且在抛物线的对称轴上。
c点坐标为(－4，－4)
设直线bd解析式为：
有：，∴bd解析式为。
直线bd与x轴的交点a的坐标为（8,0）
过点c作ce⊥轴于点e，则ce=4，be=8
又∵ob=4，oa=8, ∴ce=ob,be=oa,∠ceb=∠boa=90°
△ceb≌△boa(sas2分。
cb=ab, ∠1=∠2
∠1+∠3=90°，即∠abc=90°
△abc是等腰直角三角形3分。
存在。①当∠ca′b′=90°时，如图1所示，
a′b′∥ab
∠oa′b′=∠bao
易证：∠eca′=∠oa′b′
∠eca′=∠bao
tan∠bao=
tan∠eca′=
ea′=2a′坐标为(－2,0)
直线l解析式为---5分。
当∠a′cb′=90°时，如图2所示，过点c作ce⊥轴于点e，易证△a′fc≌△b′ec
a′f=b′e
由①tan∠b′a′o=
设b′坐标为（0，n）
有。b′坐标为（0，）
直线l解析式为---7分。
4. 在平面直角坐标系xoy中，抛物线经过点n（2,－5），过点n作x轴的平行线交此抛物线左侧于点m，mn=6.
1）求此抛物线的解析式；
2）点p（x,y）为此抛物线上一动点，连接mp交此抛物线的对称轴于点d，当△dmn为直角三角形时，求点p的坐标；
3）设此抛物线与y轴交于点c，在此抛物线上是否存在点q，使∠qmn=∠cnm ？若存在，求出点q的坐标；若不存在，说明理由。
解：（1）∵过点m、n（2，－5），由题意，得m（，）
解得 此抛物线的解析式为2分。
2）设抛物线的对称轴交mn于点g，若△dmn为直角三角形，则。
d14分。直线md1为，直线为。
将p（x，）分别代入直线md1，的解析式，得①，②
解①得，（舍），（1,05分。
解②得，（舍），（3,－126分。
3）设存在点q（x，），使得∠qmn=∠cnm.
若点q在mn上方，过点q作qh⊥mn，交mn于点h，则。
即。 解得，（舍）.
（，37分。
若点q在mn下方，同理可得（68分。
5．已知：如图，二次函数y=a(x+1)2－4的图象与x轴分别。
交于a、b两点，与y轴交于点d，点c是二次函数。
y=a(x+1)2－4的图象的顶点，cd=.
1）求a的值。
2）点m在二次函数y=a(x+1)2－4图象的对称轴上，且∠amc=∠bdo，求点m的坐标．
3）将二次函数y=a(x+1)2－4的图象向下平移k（k＞0）个单位，平移后的图象与直线cd分别交于e、f两点（点f在点e左侧），设平移后的二次函数的图象的顶点为c1，与y轴的交点为d1，是否存在实数k，使得cf⊥fc1，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵c（-1，-4），cd=，d（0，-31分)
a=1即y = x2+2x - 32分)
2）m（-1，6）或（-1，-64分)
3）存在。由cc1=dd1=k，cc1∥dd1，四边形cc1d1d为平行四边形，c1d1∥cd，∠d1 c1c=∠dcn=45°，cf⊥fc1，∴∠cc1f=45°
即△cfc1为等腰直角三角形，且cc1=k，f（-k-1，-k-45分)
由点f在新抛物线y=x2+2x-3- k上， (k-1)2+2（-k-1）-3-k =-k-46分)
解得k=2或k=0（舍），k =2．
当k =2时7分)
6．已知二次函数中，m为不小于0的整数，它的图像与x轴交于点a和点b，点a在原点左边，点b在原点右边．
1）求这个二次函数的解析式；
2）点c是抛物线与轴的交点，已知ad=ac（d**段ab上），有一动点p从点a出发，沿线段ab以每秒1个单位长度的速度移动，同时，另一动点q从点c出发，以某一速度沿线段cb移动，经过t秒的移动，线段pq被cd垂直平分，求t的值；
3）在（2）的情况下，求四边形acqd的面积．
解（1）∵二次函数的图像与x轴有两个交点，∴
1分。m为不小于0的整数，∴m取分。
当m=1时，，图像与x轴的两个交点在原点的同侧，不合题意，舍去；
当m=0时，，符合题意。
∴二次函数的解析式为3分。
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