2023年北京市各区一模汇编－04代数综合。
1．(2012海淀一模)已知关于x的方程．
1）求证：不论m为任何实数，此方程总有实数根；
2）若抛物线与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，试确定此抛物线的解析式；
3）若点p(x1，y1)与点q(x1＋n，y2)在（2）中抛物线上(点p、q不重合)，且y1＝y2，求代数式4x12＋12x1n＋5n2＋16n＋8的值．
解析】（1）当m＝0时，x＋3＝0，x＝－3．
当m≠0时，，∴此时方程有两个实数根．
综上，不论m为何实数，方程总有实数根．
2）m＝1，y＝x2＋4x＋3．
3）2x1＝－n－4，原式＝24．
2．(2012西城一模)已知关于x的一元二次方程的一个实数根为2．
1）用含p的代数式表示q；
2）求证：抛物线与x轴有两个交点；
3）设抛物线的顶点为m，与y轴的交点为e，抛物线顶点为n，与y轴的交点为f，若四边形femn的面积等于2，求p的值．
解析】（1）∵关于x的一元二次方程的一个实数根为2，1分。
整理，得2分。
2）∵，无论p取任何实数，都有≥0，无论p取任何实数，都有．
3分。抛物线与x轴有两个交点4分。
3）∵抛物线与抛物线。
的对称轴相同，都为直线，且开口大小相同，抛物线可由抛物线。
沿y轴方向向上平移一个单位得到，如图5所示，省略了x轴、y轴)
ef∥mn，ef＝mn＝1．
四边形femn是平行四边形．……5分。
由题意得．解得7分。
3．(2012石景山一模)已知：关于的方程有两个不相等的实数根．
1）求的取值范围；
2）抛物线：与轴交于、两点．若且直线：经过点，求抛物线的函数解析式；
3）在（2）的条件下，直线：绕着点旋转得到直线：，设直线与轴交于点，与抛物线交于点(不与点重合)，当时，求的取值范围．
解析】（1）……1分。
方程有两个不相等的实数根。
2分。2）抛物线中，令，则。
解得3分。抛物线与轴的交点坐标为和。
直线：经过点。
当点坐标为时，解得。
当点坐标为时。
解得或。又∵
且。抛物线的解析式为4分。
3）设。当点在点的右侧时，可证。
若，则，此时，
过点的直线：的解析式。
为。时，求得5分。
当点与点重合时直线与抛物线只有一个公共点。
解得。令，求得6分。
当点在点的左侧时。
可证。若，则，此时，
解得。综上所述，当时且7分。
4．(2012丰台一模)已知：关于x的一元二次方程：．
1）求证：这个方程有两个不相等的实数根；
2）当抛物线与x轴的交点位于原点的两侧，且到原点的距离相等时，求此抛物线的解析式；
3）将（2）中的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分保持能够不变，得到图形c1，将图形c1向右平移一个单位，得到图形c2，当直线(b＜0)与图形c2恰有两个公共点时，写出b的取值范围．
解析】（1）证明∵．…1分。
该方程总有两个不相等的实数根．．…2分。
2）由题意可知y轴是抛物线的对称轴，∴，解得．……4分。
此抛物线的解析式为．．…5分。
3）－3＜b＜1．……7分。
5．(2012顺义一模)已知关于x的方程．
1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
2）当方程有两个相等的实数根时，求关于y的方程的整数根(为正整数)．
解析】（11分。
方程有两个不相等的实数根，即。
的取值范围是且3分。
2）当方程有两个相等的实数根时，＝＝
4分。关于y的方程为．
由a为正整数，当是完全平方数时，方程才有可能有整数根．
设(其中m为整数)， 均为整数)，．即．
不妨设两式相加，得．
与的奇偶性相同，32可分解为，或或或．
或或(不合题意，舍去)或．
当时，方程的两根为，即，．…5分。
当时，方程的两根为，即，．…6分。
当时，方程的两根为，即，．…7分。
6．(2012密云一模)已知：、分别为关于的一元二次方程的两个实数根．
1）设、均为两个不相等的非零整数根，求的整数值；
2）利用图象求关于的方程的解．
解析】（1）∵，由求根公式，得，．
要使，均为整数，必为整数．
当取时，，均为整数．
又当时，＝＝1，∴舍．
当时，，∴舍．
的值为－1和－23分。
2）将，代入方程，整理得．
设，，并在同一直角坐标系中。
分别画出与的图象(如图所示)．
由图象可得，关于的方程的解为，．…7分。
7．(2012东城一模)已知关于x的一元二次方程．
1）求证：无论m取何实数时，原方程总有两个实数根；
2）若原方程的两个实数根一个大于2，另一个小于7，求m的取值范围；
3）抛物线与x轴交于点a、b，与y轴交于点c，当m取（2）中符合题意的最小整数时，将此抛物线向上平移n个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△abc的内部(不包括△abc的边界)，求n的取值范围(直接写出答案即可)．
解析】（1）证明：δ＝
≥0，无论m取何实数时，原方程总有两个实数根．……2分。
2）解关于x的一元二次方程，得．……3分。
由题意得………4分。
解得．……5分。
3）符合题意的n的取值范围是．……7分。
8．(2012昌平一模)已知关于x的方程(k＋1)x2＋(3k－1)x＋2k－2＝0．
1）讨论此方程根的情况；
2）若方程有两个整数根，求正整数k的值；
3）若抛物线y＝(k＋1)x2＋(3k－1)x＋2k－2与x轴的两个交点之间的距离为3，求k的值．
解析】（1）当时，方程＝0为一元一次方程，此方程有一个实数根；
当时，方程＝0是一元二次方程，＝(3k－1)2－4(k＋1)(2k－2)＝(k－3)2．
(k－3)2≥0，即△≥0，k为除－1外的任意实数时，此方程总有两个实数根2分。
综上，无论k取任意实数，方程总有实数根．
2），x1＝－1，x2＝．
方程的两个根是整数根，且k为正整数，当k＝1时，方程的两根为－1，0；
当k＝3时，方程的两根为－1，－1．
k＝1，34分。
3）∵抛物线y＝(k＋1)x2＋(3k－1)x＋2k－2与x轴的两个交点之间的距离为3，，＝3，或＝3．
当＝3时，＝－3；当＝3时，k＝0．
综上，k＝0，－36分。
9．(2012大兴一模)在平面直角坐标系xoy中，o为坐标原点，已知抛物线。
1）k取什么值时，此抛物线与x轴有两个交点？
2）此抛物线与x轴交于a两点(点a在点b左侧)，且，求k的值．
解析】（1）∵抛物线与x轴有两个交点，1分。
即时，此抛物线与x轴有两个交点2分。
2）∵抛物线与x轴交于a两点。
3分。点a在点b左侧，即，又，4分，即7分。
10．(2012房山一模)已知：关于x的方程。
求证：方程总有实数根；
若方程有一根大于5且小于7，求k的整数值；
在⑵的条件下，对于一次函数和二次函数＝，当时，有，求b的取值范围．
解析】⑴证明：∵△k－2)2－4(k－3)
k2－4k＋4－4k＋12
k2－8k＋16
(k－4)2≥0
此方程总有实根2分。
解：解得方程两根为。
x1＝－1x2＝3－k
方程有一根大于5且小于7
5＜3－k＜7
4＜k＜－2
k为整数。k＝－34分。
解：由⑵知k＝－3
5分，即6分。
在时，有。7分。
11．(2012怀柔一模)已知：关于的方程．
1）a取何整数值时，关于的方程的根都是整数；
2）若抛物线y＝的对称轴为x＝－1，顶点为m，当k为何值时，一次函数的图象必过点m．
解析】（1）当时，即时，原方程变为．方程的解为；……1分。
当时，原方程为一元二次方程．
解得3分。方程的根都是整数．
只需为整数。
当时，即a＝2或a＝0时，x＝1或x＝－2；……4分。
当时，即a＝3或a＝－1时，x＝1或x＝－1；……5分。
a取0，－1，1，2，3时，方程的根都是整数．……6分。
2）∵抛物线y＝的对称轴为x＝－1，，∴
顶点坐标为m(－1，)．
把m点坐标代入一次函数中，则7分。
当时，一次函数的图象必过点m．
12．(2012门头沟一模)已知：关于x的一元二次方程有两个实数根．
1）求k的取值范围；
2）当k为负整数时，抛物线与x轴的交点是整数点，求抛物线的解析式；
3）若（2）中的抛物线与y轴交于点a，过a作x轴的平行线与抛物线交于点b，连接ob，将抛物线向上平移n个单位，使平移后得到的抛物线的顶点落在△oab的内部(不包括△oab的边界)，求n的取值范围．
解析】（1）由题意得，……1分。
解得， k的取值范围是2分。
2）k为负整数，k＝－2，－1．
当k＝－2时，与x轴的两个交点是(－1，0)(－2，0)是整数点，符合题意……3分。
当k＝－1时，与x轴的交点不是整数点，不符合题意4分。
抛物线的解析式是。
3）由题意得，a(0，2)，b(－3，2)
设ob的解析式为，解得。
ob的解析式为。
的顶点坐标是(，)
ob与抛物线对称轴的交点坐标(，15分。
2019代数综合一模答案
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