北京特色题汇编。
小明遇到这样一个问题：
我们定义： 如果一个图形绕着某定点旋转一定的角度 (0 < 360) 后所得的图形与原图形重合，则称此图形是旋转对称图形。 如等边三角形就是一个旋转角为120的旋转对称图形。
如图1，点o是等边三角形△abc的中心， d、e、f分别为ab、bc、 ca的中点， 请你将△abc分割并拼补成一个与△abc面积相等的新的旋转对称图形。
图1图2小明利用旋转解决了这个问题，图2中阴影部分所示的图形即是与△abc面积相等的新的旋转对称图形。
请你参考小明同学解决问题的方法，利用图形变换解决下列问题：
如图3，在等边△abc中， e1、e2、e3分别为ab、
bc、ca 的中点，p 1、p2, m 1、m2, n1、n2分别为。
ab、bc、ca的三等分点。
（1）在图3中画出一个和△abc面积相等的新的旋转。
对称图形，并用阴影表示（保留画图痕迹）；
（2）若△abc的面积为a，则图3中△fgh的面积为。
解：（1）画图如下：
答案不唯一)2分。图3
2）图3中△fgh的面积为4分。
西城) 22. 阅读下列材料。
小华在学习中发现如下结论：
如图1，点a，a1，a2在直线l上，当直线l∥bc时，请你参考小华的学习经验画图(保留画图痕迹）：
1)如图2，已知△abc，画出一个等腰△dbc，使其面积与△abc面积相等；
2)如图3，已知△abc，画出两个rt△dbc，使其面积与△abc面积相等(要求：所画的两个三角形不全等)；
(3)如图4，已知等腰△abc中，ab=ac，画出一个四边形abde，使其面积与△abc面积相等，且一组对边de=ab，另一组对边bd≠ae，对角∠e=∠b.
图2图3图4
解：(1) 如图所示，答案不唯一。 画出△d1bc，△d2bc，△d3bc，△d4bc，△d5bc中的一个即可。（将bc的平行线l画在直线bc下方对称位置所画出的三角形亦可)
2分。(2) 如图所示，答案不唯一。 （在直线d1d2上取其他符合要求的点，或将bc的平行线画在直线bc下方对称位置所画出的三角形亦可)
4分。(3) 如图所示(答案不唯一).
5分。如上图所示的四边形abde的画法说明：(1)**段bc上任取一点d（d不为bc的中点），连结ad；(2)画出线段ad的垂直平分线mn；(3)画出点c关于直线mn的对称点e，连结de，ae.
则四边形abde即为所求。
朝阳) 23．正方形abcd的边长为4，点p是bc边上的动点，点e在ab边上，且∠epb=60°，沿pe翻折△ebp得到△. f是cd边上一点，沿pf翻折△fcp得到△，使点落在射线上．
1）如图，当bp=1时，四边形的面积为 ；
2）若bp=m，则四边形的面积为 （要求：用含m的代数式表示，并写出m的取值范围）．
备用图。解：（12分。
24分。6分。
石景山) 22．阅读下面材料：
小阳遇到这样一个问题：如图（1），o为等边△内部一点，且，求的度数。
小阳是这样思考的：图（1）中有一个等边三角形，若将图形中一部分绕着等边三角形的某个顶点旋转60°，会得到新的等边三角形，且能达到转移线段的目的。他的作法是：
如图（2），把△绕点a逆时针旋转60°，使点c与点b重合，得到△，连结。 则△是等边三角形，故，至此，通过旋转将线段oa、ob、oc转移到同一个三角形中。
1）请你回答：.
2）参考小阳思考问题的方法，解决下列问题：
已知：如图（3），四边形abcd中，ab=ad，∠dab=60°，∠dcb=30°，ac=5，cd=4.求四边形abcd的面积。
解：（1）1501分。
2) 如图，将△绕点顺时针旋转60°，使点d与点b重合，……2分。
得到△，连结。 则△是等边三角形，可知3分。
在四边形abcd中，4分。
………5分。
大兴）22．阅读材料1：
把一个或几个图形分割后，不重叠、无缝隙的重新拼成另一个图形的过程叫做“分割——重拼”．如图1，一个梯形可以分割——重拼为一个三角形；如图2，任意两个正方形可以分割——重拼为一个正方形．
1）请你在图3中画一条直线将三角形分割成两部分，将这两部分重新拼成两个不同的四边形，并将这两个四边形分别画在图4，图5中；
阅读材料2：
如何把一个矩形abcd（如图6）分割——重拼为一个正方形呢？操作如下：
画辅助图：作射线ox，在射线ox上截取om＝ab，mn＝bc．以on为直径作半圆，过点m作mi⊥ox，与半圆交于点i；
如图6，在cd上取点f，使af＝mi ，作be⊥af，垂足为e．把△adf沿射线dc平移到△bch的位置，把△aeb沿射线af平移到△fgh的位置，得四边形ebhg．
2）请依据上述操作过程证明得到的四边形ebhg是正方形。
分割正确，且画出的相应图形正确2分。
2）证明：在辅助图中，连接oi、ni．
∵on是所作半圆的直径，∴∠oin＝90°．
∵mi⊥on，∴∠omi＝∠imn＝90°且∠oim＝∠inm．
∴△oim∽△inm．
∴＝．即im 2＝om·nm3分。
∵om=ab，mn=bc
im 2 = ab·bc
af=im， ∴af 2＝ab·bc=ab·ad．
∵四边形abcd是矩形，be⊥af，∴dc∥ab，∠adf＝∠bea＝90°．
∴∠dfa＝∠eab． ∴dfa∽△eab．
∴＝．即af·be＝ab·ad=af 2．
∴af＝be4分。
af=bh ∴bh＝be．
由操作方法知be∥gh，be＝gh．
四边形ebhg是平行四边形．
∠geb＝90°，四边形ebhg是正方形5分。
怀柔）22．阅读下面材料：
在数学课上，***给同学们提出两个问题：
“谁能将下面的任意三角形分割后，再拼成一个矩形”；
“谁能将下面的任意四边形分割后，再拼成一个平行四边形”.
经过小组同学动手合作，第3组的小亮同学向大家展示了他们组的分割方法与拼接方案，如图1和图2所示；
请你参考小亮同学的做法，解决下列问题：
1）“请你将图3再设计一种分割方法，沿分割线剪开后所得的几块图形恰好也能拼成一个矩形”；
2）“请你设计一种方法，将图4分割后，再拼成一个矩形”.
22．答案：（说明：本题分割方法不唯一）
1)……2分。
方法一方法二、
方法三方法四、
2） …5分。
方法一方法二、
密云）22．定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内点．如图1，，，则点就是四边形的准内点．
1）如图2，与的角平分线相交于点．
求证：点是四边形的准内点．
2）分别画出图3平行四边形和图4梯形的准内点（作图工具不限，不写作法，但要有必要的说明）．
证明：（1）如图2，过点作，平分，1分。
同理． ∴是四边形的准内点2分。
说明：①平行四边形对角线的交点（或者取平行四边形两对边中点连线。
的交点）是准内点，如图3（1）和图3（24分。
梯形两腰夹角的平分线与梯形两腰中点连线的交点是准内点，如图4. -5分。
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