2023年北京各城区压轴题一模二模试题汇编。
例1】（2023年昌平二模理科）
20）（本小题满分14分）
已知数列的各项均为正数，记， ,若，且对任意，三个数组成等差数列，求数列的通项公式。
ⅱ）证明：数列是公比为的等比数列的充分必要条件是：对任意，三个数组成公比为的等比数列。
例2】（2023年东城二模理科）
20.（本小题共14分）
设是一个自然数，是的各位数字的平方和，定义数列：是自然数，（，
ⅰ）求，；ⅱ）若，求证：；
ⅲ）当时，求证：存在，使得．
例3】（2023年海淀二模理科）
20. （本小题满分13分）
对于自然数数组，如下定义该数组的极差：三个数的最大值与最小值的差。如果的极差，可实施如下操作：
若中最大的数唯一，则把最大数减2，其余两个数各增加1；若中最大的数有两个，则把最大数各减1，第三个数加2，此为一次操作，操作结果记为，其级差为。若，则继续对实施操作，…，实施次操作后的结果记为，其极差记为。例如：
，.ⅰ）若，求和的值；
ⅱ）已知的极差为且，若时，恒有，求的所有可能取值；
ⅲ）若是以4为公比的正整数等比数列中的任意三项，求证：存在满足。
例4】（2023年顺义二模理科）
20．（本小题满分13分）
已知集合，具有性质：对任意的，至少有一个属于。
ⅰ）分别判断集合与是否具有性质；
ⅱ）求证：①；
ⅲ）当或时集合中的数列是否一定成等差数列？说明理由。
例5】（2023年西城二模理科）
20）（本小题共13分）
在无穷数列中，，对于任意，都有，. 设， 记使得成立的的最大值为。
ⅰ）设数列为1，3，5，7，，写出，，的值；
ⅱ）若为等差数列，求出所有可能的数列；
ⅲ）设，，求的值。（用表示）
2023年北京各城区压轴题一模二模试题汇编答案。
例1】（2023年昌平二模理科）20. (本小题满分14分)
解： (因为对任意，三个数是等差数列，所以1分。
所以2分。即3分。
所以数列是首项为１，公差为４的等差数列4分。
所以5分。ⅱ）（充分性：若对于任意，三个数组成公比为的等比数列，则。
6分。所以得
即7分。因为当时，由可得8分。
所以。因为，所以。
即数列是首项为，公比为的等比数列9分。
２）必要性：若数列是公比为的等比数列，则对任意，有。
10分。因为，所以均大于。于是。
11分。12分。
即＝＝，所以三个数组成公比为的等比数列。
……13分。
综上所述，数列是公比为的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈n﹡，三个数组成公比为的等比数列14分。
例2】（2023年东城二模理科）
20．（本小题共14分）
解：（ⅰ5分。
ⅱ）假设是一个位数（），那么可以设，其中且（），且．
由可得，．所以．
因为，所以．
而，所以，即9分。
ⅲ）由，即，可知．
同理，可知．
由数学归纳法知，对任意，有．
即对任意，有．
因此，存在（），有．
则，，…可得对任意，，有．
设，即对任意，有．
若，取，，则有．
若，由，可得，取，，则有14分。
例3】（2023年海淀二模理科）
20. （本小题满分13分）解：3分。
ⅱ）法一：当时，则。
所以，由操作规则可知，每次操作，数组中的最大数变为最小数，最小数和次。
小数分别变为次小数和最大数，所以数组的极差不会改变。
所以，当时，恒成立。
当时，则。所以或。
所以总有。综上讨论，满足的的取值仅能是28分。
法二：因为，所以数组的极差。
所以，若为最大数，则。
若，则。若，则，当时，可得，即。
由可得。所以。
将代入得。所以当时，（）
由操作规则可知，每次操作，数组中的最大数变为最小数，最小数和次小。
数分别变为次小数和最大数，所以数组的极差不会改变。
所以满足的的取值仅能是28分。
ⅲ）因为是以4为公比的正整数等比数列的三项，所以是形如（其中）的数，又因为。
所以中每两个数的差都是3的倍数。
所以的极差是3的倍数9分。
法1：设，不妨设，依据操作的规则，当在三元数组（，）中，总满足是唯一最大数，是最小数时，一定有，解得。
所以，当时，.
依据操作的规则，当在三元数组（，）中，总满足是最大数，是最小数时，一定有，解得。
所以，当时，.
所以存在，满足的极差13分。
法2：设，则。
当中有唯一最大数时，不妨设，则。
所以。所以，若是3的倍数，则是3的倍数。
所以，则，所以。
所以11分。
当中的最大数有两个时，不妨设，则。
所以，所以，若是3的倍数，则是3的倍数。
所以，则，所以。
所以当时，数列是公差为3的等差数列12分。
当时，由上述分析可得，此时。
所以存在，满足的极差13分。
例4】（2023年顺义二模理科）
20．（本小题满分13分）
解：（ⅰ集合具有性质，，集合不具有性质。——3分。
ⅱ）由已知，则，仍由知；——5分，——6分。
将上述各式两边相加得。
即；——8分。
ⅲ）当时，集合中的数列一定是等差数列。
由（ⅱ）知，且，故，而这里，反之若不然。
这与集合中元素互异矛盾，只能，即。
成等差数列。 —9分。
当时，集合中的元素不一定是等差数列。
如，中元素成等差数列，又如，中元素不成等差数列；——11分。
当5时，集合中的元素一定成等差数列
证明：令①②
①有，且由①
又，成等差数列。 —13分。
例5】（2023年西城二模理科）
20．（ⅰ解3分。
ⅱ）解：由题意，得，结合条件，得4分。
又因为使得成立的的最大值为，使得成立的的最大值为，所以5分。
设，则。假设，即，则当时，；当时，.
所以，.因为为等差数列，所以公差，所以，其中。
这与矛盾，所以6分。
又因为，所以，由为等差数列，得，其中7分。
因为使得成立的的最大值为，所以，由，得8分。
ⅲ）解：设，因为，所以，且，所以数列中等于1的项有个，即个9分。
设，则， 且，所以数列中等于2的项有个，即个10分。
以此类推，数列中等于的项有个11分。
所以。即13分。
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