2003—2004学年第一学期课程试卷。
课程名称：线性代数课程号：0140649考核方式：考查。
一、填空题（每小题2分，共20分）
1.方程的全部根是。
2.设是元齐次线性方程组的基础解系，则 。
3.设为矩阵，，则。
4.为矩阵，且，则。
5.设，矩阵满足方程，则___
6.已知有非零向量同时正交于向量，，，则。
7.设为阶正交矩阵，为维列向量，内积，则内积 。
8.若阶矩阵的特征值分别为则的特征值分别为。
9.设二次型经正交变换化为标准形，则系数矩阵的最小特征值是。
10.设为正定二次型，则实数的取值范围是。
二、单项选择（每小题2分，共12分）
1.已知四阶行列式中第三列元素依次为-1，2，0，1，它们的余子式依次为5，3，-7，4，则。
a.-15 b.15 c.0 d.1
2.已知、是非齐次线性方程组的两个不同的解，、是其导出组的一个基础解系，为任意常数，则方程组的通解可表成（ ）
a. b.
c. d.
3.设向量组，则线性无关的充分必要条件是。
a.不全相等 b.互不相等。
c.全不为0 d.不全为0
4.均为阶矩阵，且，则必有。
a. b . c. d .
5.已知是矩阵的特征向量，则。
a . 1 或2 b.-1或-2 c. 1或-2 d. -1或2 。
三、计算题（每小题9分，共63分）
1.计算行列式。
2.当取何值时，线性方程组。
有解？在方程组有解时，求出线性方程组的全部解。
3.给定向量组， ,当为何值时，向量组， ,线性相关？当向量组线性相关时，求出该向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量用所求的极大线性无关组线性表示。
4.设矩阵，.
1）求；（2）解矩阵方程。
5.设矩阵，矩阵由关系式确定，试求。
6.已知实对称矩阵。
1)求的全部特征值与特征向量；
2）正交矩阵，使为对角矩阵。
7.将二次型化为标准形，并写出相应的可逆线性变换。
四、证明题（7分）
设向量组线性无关，且，，。试证明向量组线性无关。
参***与评分标准(供参考)
一、填空题（每小题2分，共20分）
二、单项选择（每小题2分，共12分）
1. a；2. d；3. b； ；5. c三、计算题（每小题9分，共63分）
1.原式。2.对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换。
当时，线性方程组有解。
在有解的情况下，继续进行初等行变换。
线性方程组的一般解为： 为自由未知量
特解 其导出组的基础解系。
线性方程组的全部解为： 为任意常数。
3. 由，作为列向量组组成矩阵，对进行初等行变换。
只有当时， r（a）=3，线性相关。
**性相关的情况下，继续进行初等行变换。
,时整个向量组的一个极大线性无关组；且。
5.由，得。
a的特征值为，
对于特征值，对应的特征向量。
对于特征值，对应的特征向量，
标准正交化，，
令为正交矩阵，且有
令 即作线性变换。
可将二次型化成标准形。
四、证明题（7分）
证明：设有使。
则： 由于线性无关，那么。
解得：，所以，线性无关。
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