答案。一、选择题：
1）b （2）c （3）b （4）b （5）a （6）c （7）d （8）a
二、填空题。
三、解答题：15—23小题，共94分。请将解答写在答题纸指定位置上。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15）（本题满分9分）求极限。
解：时，所以。
16）（本题满分10分）在抛物线上求一点，使得该点的切线与直线所围成的三角形面积最大。
解：过抛物线上一点的切线斜率为，于是切线方程为。将代入直线方程得直线与交点的横坐标，类似得到直线与交点的纵坐标。
于是三角形面积。
先找极值点。解得，代入得。
再找端点。。于是使得三角形面积最大的点为。
17）（本题满分12分）设函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且，若极限存在，证明：
（1）在内；
（2）在内存在，使。
（3）在内存在与（2）中相异的点，使。
证明：（1）因为存在，故，由在上连续，从而。又知在内单调增加，故。
（2）设，则，故，满足柯西中值定理的条件，于是在内存在点，使。
即 （3）因，在上应用拉格朗日中值定理，知在内存在一点，使，从而由（2）的结论得。
即有 。18）（本题满分10）
设为椭球面的上半部分，点，为在点处的切平面，为原点到的距离，求。
解：先求出，设为上任一点，则的方程为。
即 由的方程，于是。
这样。区域。
所以。原式。
19）（本题满分11分）设幂级数在负无穷到正无穷内收敛，其和函数幂级数为 ，且和函数。
1） 证明：，2） 求的表达式。
解：(1)由，得，代入，得。
比较的系数可得。
化简即得，2)又由，可得到。
所以。因此
20）（本题满分11分）设是实矩阵，满足：
1），其中为元素的代数余子式；
求非齐次线性方程组的解。
解：因为，所以有，又。
即，于是。根据可逆知有唯一解，且。
21）（本题满分10）
设有元实二次型，其中为实数。试问：当满足何种条件时，二次型为正定二次型。
解：由二次型的形式，我们可以作代换。
写成矩阵形式为。
此时原二次型变形为。
因此上式为正定阵，要求原二次型正定的充要条件为替换阵是可逆的。
即。即时，原二次型为正定二次型。
22）（本题满分11分）设随机变量和的联合分布是正方形的均匀分布。试求随机变量的概率密度。
解：和的联合概率密度为。
设的分布函数为，则。
由于，可知当时，；当时，当时，可知，进而有。
23）（本题满分10分）设总体的概率密度为：
其中是未知参数，是来自总体的简单随机样本，1）求的矩估计量；
2）求。解：（1），所以，故为的矩估计。
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