一、 选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号中。
1）当时，设，，，把三个无穷小按阶的高低由低到高排列起来，正确的顺序是（ ）
a）；（b）；（c）；（d）；
2）设函数在内连续，在内可导，函数的图像为。
则其导数的图像为（ ）
ab) cd)
3)若是奇函数，是偶函数，则（ ）
a）必是奇函数 （b）必是偶函数。
c）是非奇非偶函数 （d）可能是奇函数也可能是偶函数。
4)设，则（ ）
a）；（b）；（c）；（d）
5)下列说法中正确的是（ ）
a）无界函数与无穷大的乘积必为无穷大；
b）无界函数与无穷小的乘积必为无穷小；
c）有界函数与无穷大之和必为无穷大；
d）无界函数与无界函数的乘积必无解；
6)设线性无关的函数都是二阶线性非齐次方程的解，为任意常数，则该方程的通解是（ ）
ab）；c）；（d）；
7)设是阶矩阵，齐次线性方程组（i）有非零解，则非齐次线性方程组（ii），对任何。
a）不可能有唯一解； （b）必有无穷多解；
c）无解d）可能有唯一解，也可能有无穷多解。
8)设均是阶可逆矩阵，则行列式的值为。
a）； b）； c）； d）
二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。把答案填在题中的横线上。
9)已知，，则。
10) 方程满足的特解为。
11其中为。
12)设有一个原函数为，则。
13) 若，则。
14) 设是三阶矩阵，已知，与相似，则的相似对角形为。
三、解答题15~23小题，共94分。解答应写文字说明、证明过程或验算步骤。
15)（本题满分10分）求。
16)（本题满分10分）计算。
17) （本题满分10分）设在连续，且，。证明：至少，使得。
18) （本题满分10分）设函数由方程所确定，其中有一阶连续偏导数，求。
19) （本题满分10分）一个瓷质容器，内壁和外壁的形状分别为抛物线和绕轴的旋转面，容器的外高为10，比重为。把它铅直地浮在水中，再注入比重为3的溶液。问欲保持容器不沉没，注入液体的最大深度是多少？
（长度单位为厘米）
20) （本题满分11分）设，其中在处二阶可导，且。
i）、为何值时在处连续？
ii）、为何值时在处可导？
21) （本题满分11分）过椭圆上任一点作椭圆的切线，试求诸切线与两坐标轴所围成的三角形面积的最小值。
22) （本题满分11分）设是实矩阵。证明：（i）与是同解方程组；（ii）秩=秩。
23)（本题满分11分）设为三阶方阵，为三维线性无关列向量组，且有，，。求。
i）求的全部特征值。 （ii）是否可以对角化？
2011考研数学二模拟题参***。
二、 选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号中。
1）c解：由。所以。由。
故c成立。2）b
解：由于函数可导（除）且取得两个极值，故函数有两个驻点，即导函数图像与轴有且仅有两个交点，故a，c不正确。又由函数图像，极大值应小于极小值点，故d不正确。
3） b解：设，则。
4）a解：，因，则。
故。而。故，所以。
也可以用泰勒公式计算】
5）c设在内有界，即；，，即，，使当时，。则，即对，当时，，故。
6）d由都是已知方程的线性无关的解知是二阶线性齐次方程的通解；根据二阶线性方程通解的结构定理知，该方程的通解为。
7）a解：有非零解，充要条件是，由此即可找到答案。
8）d解： =
二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。把答案填在题中的横线上。
9）应填。解：由，得。
10)应填。
解：令，原方程变为。
方程两边对求导得。
再两边对求导得，即。
由得，故。11)应填。
12)应填。
解：由。其中。
利用分部积分法，有。
故。故原式。
13)应填。
解：由于。所以。
14)应填【形式不唯一，只要是对角线上为-1，-2，-3就对】
解：由，知的特征值为，相似矩阵具有相同的特征值，所以的特征值也为，故相似的标准形为。
三、解答题15~23小题，共94分。解答应写文字说明、证明过程或验算步骤。
15) （本题满分10分）解：由 所以。
16) （本题满分10分）
解：本题积分区域利用极坐标表示。
原式 (17) （本题满分10分）证明：作函数，有。
所以由积分中值定理，存在，使即。
又，所以，由极限的保号性，存在，使，即。
因此，由介值定理，至少存在一个，使，即。
18) （本题满分10分）
解：设，，则。
解得： 解得：
所以=019) （本题满分10分） 解： 设容器体积为，容器的容积即由抛物线在上绕轴旋转所得立体的体积，则。
所以，容器重量为。
设注入液体的最大深度为，则注入液体的重量为。
若液体和容器形成一体的比重为1，则可保持其在水中不沉没。
所以，由，可得，
20) 解：（i）
若要在处连续，必须，即。
故，为任意实数时，在处连续。
ii）若要在处可导，则必须在处连续（），且。
所以。所以，时，在处可导。
21) （本题满分10分）解：设为所给椭圆上任一点，则可求得在处的切线方程为。
它与两坐标轴的交点为和。
所以切线与坐标轴围成的三角形面积为。
则只须求在条件下的极值即可。设。由。
解得或。由此分别求的或。
所以诸切线与坐标轴所围成的三角形面积的最小值为。
22) （本题满分11分）证明：若是的解，显然是的解；反之，设是的解，则。即，从而。
于是，即是的解。与是同解方程组。
ii）既然与是同解方程组，两者的解空间维数相同，从而推知秩=秩。
23) （本题满分11分）
解：（i）由已知得，又因为线性无关，所以，，
所以，2是的特征值，，，是相对应的特征向量。
又由线性无关，得，，也线性无关，所以是矩阵的二重特征值，即得全部特征值为，2
ii）由线性无关，可以证明，，也线性无关，即有三个线性无关的特征向量，所以，矩阵可相似对角化。
2019考研数学二模拟题
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