2011考研冲刺班高等数学讲义。
主讲：汪诚义。
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序言：数学一和数学二要考高等数学；而数学三要考微积分。它们大部分内容和要求是相同的，但又有一部分内容和要求是不同的。
所以，我们讲授的方法是先讲共同要求的部分，然后再讲不同需求的部分。
安排如下：第一章函数、极限、连续1 (全体要求)
第二章一元函数微分学10 (全体要求)
第三章一元函数积分学18 (全体要求)
第四章多元函数微分学24 (全体要求)
第五章二重积分30 (全体要求)
第六章常微分方程33
6.1 一阶微分方程 (全体要求)
§6.2 特殊的高阶微分方程 (全体要求)
数学二结束)
第七章无穷级数38
7.1 数项级数 (数学。
一、数学三要求)
7.2 幂级数 (数学。
一、数学三要求)
7.3 把函数展开成幂级数 (数学。
一、数学三要求)
数学三结束)
7.4 傅里叶级数 (数学一要求)
第八章向量代数与空间解析几何 (数学一要求)……44
第九章三重积分、曲线积分、曲面积分 (数学一要求)…47
数学一结束)
附录：一、选做题。
二、选做题的解答 ……55
一、有关四种性质(奇偶性、单调性、周期性、有界性)
口诀(1)：奇偶函数常遇到；对称性质不可忘。
2. 在(a,b)内，若，则单调增加。
若，则单调减少。
口诀(2)：单调增加与减少；先算导数正与负。
例1 求。解是奇函数，∵是奇函数，
因此是奇函数。
于是。例2 设，则下列结论正确的是。
a)若为奇函数，则为偶函数。
b)若为偶函数，则为奇函数。
c)若为周期函数，则为周期函数。
d)若为单调函数，则为单调函数。
解 (b)不成立，反例。
c)不成立，反例。
d)不成立，反例。
a)成立。证明为奇函数，所以，为偶函数。
例3 设，是恒大于零的可导函数，且，则当时，下列结论成立的是。
ab) cd)
解 ∵，单调减少。
于是x二、有关复合函数。
1. 已知，求。
2. 已知和，求。
例1 已知和，求。
解： 例2 已知，且，求。
解：令，则，因此。
于是， 一、有关无穷小量。
1.有界变量乘无穷小(量)仍是无穷小(量)；
2.等价无穷小代换；
3.无穷小的阶的比较。
例1 求。解原式。
例2 设当x→0时(1-cosx)ln(1+x2)是比xsinxn高阶的无穷小，而xsinxn是比高阶的无穷小，则正整数n等于。
a) 1 (b) 2c) 3 (d) 4
解：， 由题意可知，4>n+1>2， ∴n+1=3, n=2 选(b)
例3 设，则当x→0时，是的 (
a) 高阶无穷小b) 低阶无穷小。
c)同阶但不等价的无穷小 (d) 等价无穷小。
解 ， 选(c)
二、有关两个准则。
准则1 单调有界数列极限一定存在。
准则2 夹逼定理。
例1 设，，证明存在，并求其值。
解 ∵，几何平均值≤算术平均值)
用数学归纳法可知n>1时，，∴有界。
又当n>1时， ，则单调增加。
根据准则1，存在。
把两边取极限，得(舍去) 得，。
口诀(3)：递推数列求极限；单调有界要先证；
两边极限一起上；方程之中把值找。
例2 求。解：
而 ， 由夹逼准则可知原式=1
三、有关两个重要公式。
公式1、公式2、；
例1 求。解当x=0时，原式=1
当x≠0时，原式=
例2 设在内可导，且，，求c的值。
解。则拉格朗日中值定理，有。
其中ξ介于(x-1)与x之间，那么。
于是，e2c=e,2c=1，则。
口诀(4)：函数之差化导数；拉氏定理显神通。
四、用洛必达法则求极限。
洛必达法则主要处理七种待定型极限：“”型，“”型，“0·∞”型，“∞型，1∞”型，“00”型和“∞0”型。
口诀(5)：待定极限七类型，分层处理洛必达。
第一层次：直接用洛必达法则。
”型用洛必达法则ⅰ
”型用洛必达法则ⅱ
第二层次：间接用洛必达法则。
0·∞”型例变为“”型。
∞-∞型例变为“”型。
第三层次：间接再间接用洛必达法则。
1∞”型，“00”型，“∞0”型均为形式。
而称为冪指函数，比较复杂。
口诀(6)：冪指函数最复杂；指数、对数一起上。
而上面三种类型化为。
这时一定是“0·∞”型。
再用第二层次的方法处理即可。
例 例1 求。
解原式===
例2 设函数连续，且，求。
解原式= (分母令。
(用积分中值定理)
(ξ在0和x之间)
口诀(7)：变限积分是函数；遇到之后先求导。
公式： (当连续时)
例3 设a>0,b>0常数，求。
解先考虑它是“”型。
令 因此， ，于是， 。
口诀(8) 离散数列“洛必达”；先要转化连续型。
五、求分段函数的极限。
例求。解 ，
口诀(9)：分段函数分段点；左右运算要先行。
六用导数定义求极限。
例设曲线与在原点相切，求。
解由题设可知，
于是 七用定积分定义求极限。
公式： (连续)
例1 求。分析如果还想用夹逼定理中方法来考虑。
而， 由此可见，无法再用夹逼定理，因此我们改用定积分定义来考虑。
解 =口诀(10)：数列极限逢绝境；转化积分见光明。
八、求极限的反问题。
例1 设，求a和b.
解由题设可知，∴1+a+b=0
再对极限用洛必达法则。
例2 设在(0，+∞内可导， >0，
且满足，求。
解先用冪指函数处理方法
再用导数定义
取， 于是。
这样 ， 所以
再由，可知c=1，则。
一、连续与间断。
例1 设，在内有定义，为连续，且，有间断点，则下列函数中必有间断点为。
abcd)
解 (a)，(b)，(c)不成立可用反例，,(d)成立可用反证法：假若不然没有间断点，那么为两个连续函数乘积，一定连续故矛盾，所以一定有间断点。
例2 求的间断点，并判别其类型。
解 ，考虑。
可见为间断点，是可去间断点，其它皆为第二类间断点。
二、闭区间上连续函数的性质（重点为介值定理及其推论）
例1 设在上连续，且，，证明存在，使得。
证令，则在上连续，根据介值定理推论，存在使，即证。
例2 设在上连续，且，求证：存在，使。
证 ∵在上连续，故有最大值m和最小值m，于是。
根据介值定理，存在使。
口诀（11）：函数为零欲论证；介值定理定乾坤。
一、可导性与连续性。
例设，问a和b为何值时，可导，且求。
解 ∵x＞1时，； x＜1时，.
由处连续性，，，可知。
再由处可导性，存在。存在。且。
根据洛必达法则。
于是。二、导数与微分的运算法则和计算公式。
要求非常熟练地运用，具体例题可看参考书）
三、切线和法线方程。
例1 设为周期是5的连续函数，在邻域内恒有。
其中，在处可导，求曲线在点（）处的切线方程。
解由题设可知，，故切线方程为。
所以关键是求出和。
由连续性 由所给条件可知 ，∴
再由条件可知
令，，又∵上式左边。
则。所求切线方程为即。
四、高阶导数。
1.求二阶导数。
例1 设，求。
解。例2 设由方程所确定，求。
解 ，得。2.求n阶导数。
例1 设，求(n正整数)。
解先用多项式除法，得，然后把真分式再化为最简公式。令 令
令 口诀（12）：有理函数要运算；最简分式要先行。
例2 设（n为正整数）。
解。口诀（13）：高次三角要运算；降次处理先开路。
注〕 有时求可以通过幂级数。
的系数公式。
反过来来计算，这就需要掌握把函数展成幂级数的有关技巧，数学一和数学三在无穷级数中有专门讨论。
一、罗尔定理。
罗尔定理：设在上连续，内可导，且＝，则存在使。
口诀（14）：导数为零欲论证；罗尔定理负重任。
在考研考题中，经常要作辅助函数，而对用罗尔定理，从而得出的有关结论，为此，我们引进两个模型及有关例题。
1. 模型ⅰ：设在上连续，内可导，且，是内的连续函数，则存在，使成立。
证令，其中。
于是在上连续，在内可导，。根据罗尔定理，存在使。而 因此。
例1 设在上连续，在内可导，，，试证：
1） 存在，使；
2） 存在，使 （为任意实数）。
证 (1)令，显然，在上连续又，根据介值定理推论存在，使，即。
2）令(相当于模型ⅰ中，）
在上用罗尔定理，存在，使。
即 从而 。
口诀（15）：导数、函数合为零；辅助函数用罗尔。
2. 模型ⅱ 设，在上连续，内可导，且，，则存在，使。
证令，则，在上用罗尔定理，存在，使，即。
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