数学二模拟二答案。
一、选择题。
1) b (2) b (3) a (4) d (5) b (6)d (7) b (8)d
二、填空题。
三、解答题。
15) （本题满分9分）计算 解
16) （本题满分10分）
求(是不全为零的非负数)
解当时， 原式=
当时，原式=
当且时，原式=
17) （本题满分10分）
已知，求。解
18) （本题满分10分）
设函数在闭区间上连续，在开区间内大于零，并满足(为常数)，又曲线与所围成的图形的面积值为2.求函数。并问为何值时，图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积最小。
解由原题设，当时，
即。据此并由在点处连续性，得。
又由已知条件得。
因此。旋转体体积。
由得。又因为。
故时，旋转体体积最小。
19) （本题满分10分）
计算二重积分，其中。
解将分成与两部分。
由于。其中。
因此。20) （本题满分11分）
假设：(1)函数满足条件和；(2)平行于轴的动直线与曲线和分别交于点和；(3)曲线，直线与轴所围封闭图形的面积恒等于线段的长度。求函数的表达式。
解由题设可知。
两端求导得。
即。由一阶线性方程求解公式得。
由，得。因此，所求函数为。
21) （本题满分12分）
设函数在区间上连续，在内可导，且，.试证。
1)存在，使。
2)对任意实数，必存在，使得。
解(1)令，则在上连续。又，，由介值定理可知，存在，使得。
即。2)要证，即要证。
也就是要证，因此构造辅助函数。
则在上满足罗尔定理的条件，故存在，使得。
即。而，从而有。
即。22) （本题满分11分）
设向量组，，，试问：当满足什么条件时。
1)可由线性表出，且表示唯一？
2)不能由线性表出？
3)可由线性表出，但表示不唯一？并求出一般表达式。
解设有一组数，使得。
对应方程组的增广矩阵作初等行变换，有。
线性表出，且表示唯一。
1)当，即时，秩=秩=3，方程组有唯一解，可由。
2)当，即时，对作初等行变换，有。
当时，秩秩，方程组无解，不能由线性表出。
3)当且时，秩=秩=2<3，方程组有无穷多解，可由线性表出，但表示不唯一。此时，解得。
为任意常数)
因此有。23)（本题满分11分）
已知矩阵有特征值，求的值；并当时，正交矩阵，使。
解因是矩阵的特征值，则由。
可得。当时，则由矩阵的特征多项式。
知矩阵的特征值是1,2,5.
由得基础解系。
由得基础解系。
由得基础解系。
即矩阵属于特征值1,2,5的特征向量分别是。
由于实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交，故只需单位化，有。
那么，令，则有。
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