2011届高考数学**押题卷——北京卷（理3）
第ⅰ卷（选择题共40分）
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1）若复数（）为纯虚数，则等于。
a）0b）1c）-1d）0或1
2）给出下列三个命题：，；使得成立；
对于集合，若，则且。
其中真命题的个数是。
a）0b）1c）2d）3
3）沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的左视图为。
abc） （d）
4）极坐标方程（）表示的图形是。
a）两条直线b）两条射线
c）圆d）一条直线和一条射线。
5）已知正项数列中，，，则等于。
a）16b）8c） （d）4
6）已知双曲线，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于两点，为坐标原点。若，则双曲线的离心率为。
a） （b） （c） （d）
7）△外接圆的半径为，圆心为，且， ，则等于
abcd）8）已知函数则函数的零点个数是。
a）4b）3c）2d）1
第ⅱ卷（共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
9）的展开式中，的系数为用数字作答）
10）某地为了调查职业满意度，决定用分层抽样的方法从公务员、教师、自由职业者三个群体的相关人员中，抽取若干人组成调查小组，有关数据见下表，则调查小组的总人数为 ；若从调查小组中的公务员和教师中随机选人撰写调查报告，则其中恰好有人来自公务员的概率为。
11）在△中，若，则。
12）如图，是半径为的圆的直径，点在的延长线上，是圆的切线，点在直径上的射影是的中点，则。
13）已知点在不等式组表示的平面区域内，则点到直线距离的最大值为。
14）对任意，函数满足，设，数列的前15项的和为，则。
三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
15）（本小题共13分）
已知，．ⅰ）求的值；
ⅱ）求函数的值域．
16）（本小题共14分）
如图，在直三棱柱中，，，分别为，的中点，四边形是边长为的正方形．
ⅰ）求证：∥平面；
ⅱ）求证：平面；
ⅲ）求二面角的余弦值．
17）（本小题共13分）
甲，乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得分，负者得分，比赛进行到有一人比对方多分或打满局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为．
ⅰ）求的值；
ⅱ）设表示比赛停止时比赛的局数，求随机变量的分布列和数学期望．
18) （本小题共13分）
已知函数()．
ⅰ）若，求证：在上是增函数；
ⅱ）求在[1，e]上的最小值．
19）（本小题共13分）
在平面直角坐标系中，动点到定点的距离比点到轴的距离大，设动点的轨迹为曲线，直线交曲线于两点，是线段的中点，过点作轴的垂线交曲线于点．
ⅰ）求曲线的方程；
ⅱ）证明：曲线在点处的切线与平行；
ⅲ）若曲线上存在关于直线对称的两点，求的取值范围．
20）（本小题共14分）
在单调递增数列中，，不等式对任意都成立。
ⅰ）求的取值范围；
ⅱ）判断数列能否为等比数列？说明理由；
ⅲ）设，求证：对任意的，.
参***。一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1）b2）c3）b4）a
5）d6）d7）c8）a
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
15）（共13分）
解：（ⅰ因为，且，所以，．
因为。所以6分。
由（ⅰ）可得．
所以。因为，所以，当时，取最大值；
当时，取最小值．
所以函数的值域为13分。
（16）（共14分）
ⅰ）证明：连结，与交于点，连结．
因为，分别为和的中点，所以∥．
又平面，平面，所以∥平面4分。
ⅱ）证明：在直三棱柱中，平面，又平面，所以．
因为，为中点，所以．又，所以平面．
又平面，所以．
因为四边形为正方形，，分别为，的中点，所以△≌△
所以．所以．
又，所以平面9分。
ⅲ）解：如图，以的中点为原点，建立空间直角坐标系．
则．由（ⅱ）知平面，所以为平面的一个法向量．
设为平面的一个法向量，．
由可得。令，则．
所以．从而．
因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．……14分。
17）（共13分）
解：（ⅰ当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛停止，故，解得或．
又，所以6分。
ⅱ）依题意知的所有可能取值为2，4，6．
所以随机变量的分布列为：
所以的数学期望．……13分。
18）（共13分）
ⅰ）证明：当时，当时，所以在上是增函数5分。
ⅱ）解：，当，．
若，则当时，所以在上是增函数，又，故函数在上的最小值为．
若，则当时，所以在上是减函数，又，所以在上的最小值为．
若，则当时，，此时是减函数；
当时，，此时是增函数．
又，所以在上的最小值为．
综上可知，当时，在上的最小值为1；
当时，在上的最小值为；
当时，在上的最小值为．……13分。
19）（共13分）
ⅰ）解：由已知，动点到定点的距离与动点到直线的距离相等．
由抛物线定义可知，动点的轨迹为以为焦点，直线为准线的抛物线．
所以曲线的方程为3分。
ⅱ）证明：设，．
由得．所以，．
设，则．因为轴，所以点的横坐标为．
由，可得。所以当时，．
所以曲线在点处的切线斜率为，与直线平行．……8分。
ⅲ）解：由已知，．
设直线的垂线为：．
代入，可得 （*
若存在两点关于直线对称，则，又在上，所以， ．
由方程（*）有两个不等实根。
所以，即。所以，解得或13分。
20）（共14分）
ⅰ）解：因为是单调递增数列，所以，.
令，所以4分
ⅱ）证明：数列不能为等比数列。
用反证法证明：
假设数列是公比为的等比数列，，.
因为单调递增，所以。
因为，都成立。
所以， ①因为，所以，使得当时，.
因为。所以，当时，，与①矛盾，故假设不成立。
9分。ⅲ）证明：观察： ，猜想：.
用数学归纳法证明：
1）当时，成立；
2）假设当时，成立；
当时，所以。
根据（1）（2）可知，对任意，都有，即。
由已知得，.
所以。所以当时，.
因为。所以对任意，.
对任意，存在，使得，因为数列{}单调递增，所以，.
因为，所以14分。
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