数学试题（理科）
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在题目给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。)
1. 函数的定义域是（ ）
a． b． c． d．
2．复数满足，则等于( )
a． b． c． d．
3.某服装商场为了了解毛衣的月销售量（件）与月平均气温（℃）之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：
由表中数据算出线性回归方程中的气象部门**下个月的平均气温约为6℃，据此估计，求该商场下个月毛衣的销售量（ ）
a．46b．40c．38d．58
4．已知数列的前和为，．当时，，则( )
ab．1006c．1007d．1008
5.已知函数是定义在r上的奇函数，若，则( )
abcd．0
6.执行右边的程序框图，若输出，则输入( )
a．6b．7c．8d．9
7. 直线与圆交于两点，则（为坐标原点）等于（ ）
abcd.
8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为( )
ab． cd．
9．将函数的图象向右平移( )个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），所得图象关于直线对称，则的最小值为（ ）a． b． c． d．
10.已知边长为1的等边三角形abc与正方形abde有一公共边ab，二面角c－ab－d的余弦值为，若a、b、c、d、e在同一球面上，则此球的体积为( )
a. b. c. d.
11．如图，已知双曲线c： 的右顶点为a，o为坐标原点，以a为圆心的圆与双曲线c的某渐近线交于两点p、q，若∠paq=60°且=3，则双曲线c的离心率为（ ）
a． b． c． d．
12.设满足方程的点的运动轨迹为曲线，若在区间内，曲线有两个交点，则实数的最大值为( )
a．4 b． c． d．
二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．设是等比数列的前n项和，若，则的值是 ．
14．若，则。
15．甲、乙两名大学生从4个公司中各选2个作为实习单位，则两人所选的实习单位恰有1个相同的不同的选法种数是 .
16.已知点，，，平面区域是由所有满足。
的点组成的区域，若区域的面积为16，则的最小值为___
三、解答题解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（本小题满分12分）如图所示的四边形abcd中，已知ab⊥ad，∠abc=120°，∠acd=60°，ad=27，设∠acb=θ，c点到ad的距离为h．
ⅰ）求h（用θ表示）（ⅱ求ab+bc的最大值．
18．（本小题满分12分）学校为测评班级学生对任课教师的满意度，采用“100分制”打分的方式来计分．现从某班学生中随机抽取10名，以下茎叶图记录了他们对某教师的满意度分数（以十位数字为茎，个位数字为叶）： 规定若满意度不低于98分，测评价该教师为“优秀”．
i）求从这10人中随机选取3人，至多有1人评价该教师是“优秀”的概率；
ⅱ）以这10人的样本数据来估计整个班级的总体数据，若从该班任选3人，记ξ表示抽到评价该教师为“优秀”的人数，求ξ的分布列及数学期望．
19．（本小题满分12分）在如图所示的空间几何体中，平面acd⊥平面abc，△acd与△acb是边长为2的等边三角形，be=2，be和平面abc所成的角为60°，且点e在平面abc上的射影落在∠abc的平分线上．
ⅰ）求证：de∥平面abc；（ⅱ求二面角e﹣bc﹣a的余弦值．
20．（本小题满分12分）已知椭圆c：，其中，为左、右焦点，o为坐标原点．直线与椭圆交于， 两个不同点．当直线过椭圆c右焦点f2且倾斜角为时，原点o到直线的距离为．又椭圆上的点到焦点f2的最近距离为．（i）求椭圆c的方程；（ⅱ以op，oq为邻边做平行四边形oqnp，当平行四边形oqnp面积为时，求平行四边形oqnp的对角线之积|on||pq|的最大值。
21.（本小题满分12分）设函数。
（ⅰ）当时，讨论的单调性；
（ⅱ）当时，设在处取得最小值，求证：.
请考生在三题中任选一题作答。多做则按所做的第一题计分。做答时请写清题号。
22．(本小题满分10分)选修41：几何证明选讲．
如图，ab是⊙o的直径，ac是⊙o的切线，bc交⊙o于e，过e的切线与ac交于d.(1)求证：cd＝da；
(2)若ce＝1，ab＝，求de的长．
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程。
已知参数方程为（为参数）的直线经过椭圆的左焦点，且交轴正半轴于点，与椭圆交于两点、（点位于点c上方）.
ⅰ）求点对应的参数（用表示）；
ⅱ）若，求直线的倾斜角的值．
24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式。
已知函数．(1)若函数的最小值为3，求的值；
2)在(1)的条件下，若直线与函数的图象围成一个三角形，求的范围，并求围成的三角形面积的最大值．
答案：一、选择： ddada ccdcd bd 二、填空： 24
17.解：（ⅰ由已知得：∠adc=360°﹣（90°+120°+60°+θ90°﹣θ1分。
在△acd中，…3分。
ac==18cosθ…4分。
又∠cad=30°+θ且0＜θ＜60°，h=acsin∠cad=18cosθsin（30°+θ0＜θ＜60°）…6分。
ⅱ）在△abc中，ab==18sin2θ，…7分。
bc==36cosθsin（60°﹣θ9…8分。
ab+bc=9+9cos2θ+9sin2θ=9+18sin（2θ+60°）…10分。
0＜θ＜60°，…11分。
当θ=15°时，ab+bc取到最大值9…12分．
18. 解：（ⅰ设ai表示所取3人中有i个人评价该教师为“优秀”，至多1人评价该教师为“优秀”记为事件a，则p（a）=p（a0）+p（a1）==
ⅱ）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3，p（ξ=0）=（3=， p（ξ=1）==p（ξ=2）==p（ξ=3）=（3=，ξ的分布列为：
eξ==0.9．
19. 解：（ⅰ由题意知，△abc，△acd都是边长为2的等边三角形，取ac中点o，连接bo，do，则bo⊥ac，do⊥ac，…
又∵平面acd⊥平面abc，do⊥平面abc，作ef⊥平面abc，那么ef∥do，根据题意，点f落在bo上，be和平面abc所成的角为60°，∠ebf=60°，be=2，∴，
四边形defo是平行四边形，de∥of，de不包含于平面abc，of平面abc，de∥平面abc．…
ⅱ）解法一：作fg⊥bc，垂足为g，连接eg，ef⊥平面abc，∴ef⊥bc，又ef∩fg=f，bc⊥平面efg，∴eg⊥bc，∠egf就是二面角e﹣bc﹣a的平面角．…
rt△efg中，，，
即二面角e﹣bc﹣a的余弦值为．…
解法二：建立如图所示的空间直角坐标系o﹣xyz，b（0，，0），c（﹣1，0，0），e（0，，）1，﹣，0），=0，﹣1，），平面abc的一个法向量为。
设平面bce的一个法向量为。
则，∴，所以，又由图知，所求二面角的平面角是锐角，二面角e﹣bc﹣a的余弦值为．…
20. 解：（i）直线l过椭圆c右焦点f2且倾斜角为时，直线l的方程为：y=x﹣c．
原点o到直线l的距离为，，解得c=1．
又椭圆上的点到焦点f2的最近距离为﹣1，﹣1，解得a=，b2=a2﹣c2=2．
椭圆c的方程为．
ii）设p（x1，y1），q（x2，y2）．
当直线l的斜率不存在时，x1=x2，y1=﹣y2，由=1，|2x12y1|=，解得，|y1|=1．
|on||pq|=．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，联立，化为（2+3k2）x2+6kmx+3m2﹣6=0，由△＞0，解得3k2+2＞m2．
x1+x2=﹣，x1x2=，|pq|==原点到直线l的距离d=，s△poq===化为3k2+2=2m2，满足△＞0．
设m（x0，y0）为pq的中点，则x0==，y0=kx0+m=．
==，pq|2=，|om|2|pq|2=，当且仅当m=时取等号．
|om||pq|的最大值为．
|on||pq|=2|om||pq|的最大值为5．
综上可得：on||pq|的最大值为5．
iii）由题意可得抛物线c2：y2=4x，以os为直径作圆，交抛物线c2于另一点r，∴∠ors=90°．∴0．
设s（x3，y3），r（x4，y4），则=x4（x4﹣x3）+y4（y4﹣y3）=+y4（y4﹣y3）=0．
y4（y4﹣y3）≠0，∴y4（y4﹣y3）=﹣16．
≥8，或y3≤﹣8
x3≥=16．
该圆面积最小时点s的坐标为（16，±8）．
21、解：（i）当时。
因为单调递增，单调递增，所以在单调递增，且，因此当时，；当时，故在单调递减，在单调递增。
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