2023年高考数学模拟试题

2023年高考数学模拟试题精选。

1．已知函数（）满足，且时，，则函数的零点个数是（）

a．3 b．4 c．5 d．6

解答：b 由（）知，最小正周期为2，作出在区间[－1，5]内的图象和在内的图象，知它们有4个公共点。

2．函数的部分图象如图所示，则等于( )

a．6 b．5 c．4 d．3

解答：a 令，得，即点a（2，0），令，得b（3，1），又o为原点，故。

3．若函数的图象在处的切线与圆相离，则点与圆c的位置关系是（）a．点在圆外 b．点在圆内 c．点在圆上 d．不能确定。

解答：b ，切线斜率，切点为，则切线方程为：

即，依题意有，得。

4．已知抛物线与双曲线有相同的焦点f，点a是两曲线的一个交点，且轴，若为双曲线。

一、三象限的一条渐近线，则的倾斜角所在的区间可能是（）a． b． c． d．

解答：d 设双曲线半焦距为c，的倾斜角为，则，依题意有①，在抛物线中求得，以双曲线中求得，所以②，由①②得，故。

又，于是。5．已知可以表示成一个奇函数与一个偶函数之和，若关于的不等式≥0对于恒成立，则实数的最小值是（）

a．2 b．0 cd．—4

解答：c 由题意得，则，即，，。又≥0对于恒成立，即。

对于恒成立，当时，≥对于恒成立，的最大值为（利用打勾函数的单调性），∴

6．设点p是双曲线与圆在第一象限的交点，其中f1、f2分别是双曲线的左、右焦点，且，则双曲线的离心率为（）

a． bc． d．

解答：b 设双曲线的半焦距为，∴，点与点是该圆直径的两个端点，∴，

又∵，∴即，∴

7．若r上的奇函数的图象关于直线对称，且当≤1时，，则方程在区间内的所有实根之和为（）

a．4022 b．4024 c．4026 d．4028

解答：c 由题意可知：，∴是以4为周期的周期函数，又∵，∴方程可化为，数形结合可知：

在（0，1）、（1，2）内各有一个实根，且这两个实根之和为2，由周期性可知在（2012，2013）、（2013，2014）内各有一个实根，且这两个实根之和为4026。

8．将a、b、c、d、e五种不同的文件放入一排编号依次为的六个抽屉内，每个抽屉至多放一种文件，要求文件a、b必须放入相邻的抽屉内，文件c、d也必须放入相信的抽屉内，则不同的文件放法有种。

解答：96 若1号或6号抽屉不放文件有种放法；若2号或5号抽屉不放文件有种放法；若3号或4号抽屉不放文件有种放法；，共96种放法。

9．一次观众的**活动的规则是：将9个大小相同，分别标有1，2，…，9这9个数的小球，放进纸箱中。观众连续摸三个球，如果小球上的三个数字成等差算中奖，则观众中奖的概率为。

解答：只考虑公差大于0即可，公差为1的等差数列有7个，公差为2的等差数列有5个，公差为3的等差数列有3个，公差为4的等差数列有1个，总计16个，中奖的概率。

10．在海岛a上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站p，上午9时，测得一轮船在岛北偏东300、俯角为300的b处，直线航行到9时10分又测得该船在岛北偏西600、俯角为450的c处，⑴求船的航行速度；⑵在c处，该船改为向正南方向航行，且不改变速度，10分钟后到达什么位置（以a点为参照点）？

解：⑴在中，千米，在中，千米。

在中，千米。

船的航行速度是千米/小时。

设10分钟后该船到达点d，∵该船向正南航行，10分钟所走的航程是千米，在中，由余弦定理得：

千米，∴是直角三角形，，而，，∴10分钟后该船距离在点a南偏西，距离a点千米处。

11．已知椭圆c的离心率，长轴的左、右端点分别为、，⑴求椭圆c的方程；⑵设直线与椭圆c将于p、q两点，直线与交于点s，试问：当变化时，点s是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。

解：⑴设椭圆c的方程为，∵，椭圆c的方程为。……4分。

取，得，，直线的方程是，直线的方程是，交点为，若，由对称性可知交点为。若点s在同一条直线上，则直线只能为……7分。

以下证明对于任意的，直线与的交点均在直线上。

事实上，由得，设，则，设与交于点，则，得。

设与交于点，则，得。

∴，即与重合。

这说明，当变化时，点恒在定直线上。

1．在一个长为，宽为2的矩形oabc内，曲线（0≤≤）与轴及直线、围成如图所示的阴影部分，向矩形oabc内随机投一点（该点落在矩形oabc内任何一点是等可能的），则所投的点落在阴影部分的概率是（）

a． b． c． d．

解答：a 很明显，按对称性质，整个阴影部分的面积为。

矩形面积的一半。

2．已知点的坐标满足，设，则（o为坐标原点）

的最大值为。

解答：23．已知定义域为的函数满足：⑴对任意，恒有成立；⑵当时，，给出如下结论：

①对任意，有；②函数的值域为；③存在，使得；④“函数在区间上单调递减”的充要条件是“存在，使得”。其中所有正确结论的序号是。

解答：①②故①成立；

∵当时，，∴

当时，，故②成立；

当时，，，故不存在负整数，使，当≥0时，，∵不存在整数，使，故③不成立；

由题知当时，单调递减，又，∴当、、…时，都单调递减，故④成立。

4．某大学研究生入学复试有50人参加，其中英语与政治成绩采用5分制，设政治成绩为，英语成绩为，结果如下表：

求政治成绩为4分且英语成绩为3分的概率；⑵若“考生的政治成绩为4分”与“英语成绩为2分”是相互独立事件，求、的值；⑶若英语成绩的数学期望为，求、的值。

解答：∵入学复试共有50人参加，∴…

由题中的**可以看出，“政治成绩为4分且英语成绩为3分”的考生人数为6人，政治成绩为4分且英语成绩为3分的概率为。

∵“考生的政治成绩为4分”与“英语成绩为2分”是相互独立事件，，∴

与（※）式联立，解得、。

由表易知英语成绩有1分、2分、3分、4分、5分五个等级，且每个等级分别有5人、人、15人、15人、人，英语成绩的分布列为。

又∵英语成绩的数学期望为，∴1×+2×+3×+4×+5×=

与（※）式联立，解得、。

5．如图，椭圆c的方程为的焦距为2，且过点，已知f为椭圆的右焦点，a、b为椭圆上的两动点，直线与轴交于点g。⑴求椭圆c的方程；⑵若ab为垂直于轴的动弦，直线af与bg交于点m，试证明：点m恒在椭圆c上；⑶若动点a、b、g三点共线时，记为，则当△aob的面积最大时，试求直线的方程。

解答：⑴由题意可知，从而，所以椭圆的方程为。

证明：由题意得、，设，则，则……①

af与bg的方程分别为：，即：，设，则有……②由②③得，……

由①得，代入④，整理后得。

故点m恒在椭圆上。

设过点g的直线方程为，代入椭圆方程，得（*）设、，则有，由于原点o到直线的距离为，令，则由（*）式知△>0，∴，故。，当且仅当，即是等号成立，此时。

时，△aob面积最大，此时直线的方程为。

6．已知函数在r上可导，并满足不等式恒成立，若常数、满足，则下列不等式一定成立的是（）

a． b． c． d．

解答：c7．如图①，在rt△abc中，ac⊥bc，点c在斜边ab上的射影为d，则有ac2=ad·ab；类比直角三角形的这一性质，如图②，在四面体p—abc中，或pa、pb、pc两两垂直，点p在平面abc上的射影为o，设△pab的面积为s△pab，则有s△pab2

解答：8．设f1、f2分别是椭圆的左、右焦点，点p是椭圆上的一个动点，⑴求的最大值和最小值；⑵若，猜想的周长最大时点p的位置，并证明你的猜想；⑶若p（2，1），作平行于op的直线交椭圆于a、b两个不同点，试问：直线pa、pb与轴是否始终围成一个等腰三角形？

若是，请给出证明；若不是，请说明理由。

解：⑴由题意可知：、、所以、，设，则。

因为，故当，即点p为椭圆短轴端点时，有最小值－4，当，即点p为椭圆长轴端点时，有最大值2。

由题意知是椭圆下顶点，猜想：当点p位于直线与椭圆的交点处时，周长最大，最大值为。

因为直线平行于op，又，故可设直线的方程为，由得，设、，则有，，设直线pa、pb的斜率分别为、，则有、，而。

所以=－，故直线pa、pb与轴始终围成一个等腰三角形。

9．选修4-4：坐标系与参数方程。

在极坐标系中，极点为o，已知一条封闭的曲线c由三段圆弧组成：，，求曲线c围成的区域的面积；②若直线与曲线c恰有两个公共点，求实数的取值范围。

解：①如下图，设两段小圆弧所在圆的圆心分别为a、c，它们的衔接点为b，则四边形oabc是边长为1的正方形，曲线c围成的区域面积。

如图，以极点为原点，以极轴为轴正半轴建立直角坐标系，其中点m为圆a与轴正半轴的交点，点n为圆c与轴正半轴的交点，则小圆弧、所在的圆的方程分别为，大圆弧所在的圆方程为：

直线在直角坐标系下的方程为。

当与圆弧相切时，的方程为：

当过m、b、n三点时，的方程为：

当与圆弧、都相切时，记与曲线c的切点分别为e、f，且与轴的交点为d，在等腰直角三角形aed中，，，此时的方程为。

因此，要使与曲线恰有两个公共点，必须或。

或。10．4名男生3名女生排成一排，若3名女生中有2名站在一起，但3名女生不能全排在一起，则不同的排法种数有（）a．2880 b．3080 c．3200 d．3600

解答：a 11．已知，，且≥－18，则实数的值为。

解答：－312．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为，其中、，若≤1，就称甲乙“心有灵犀”，现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为。

2023年高考数学模拟试题

2023年高考数学模拟试题

2023年高考数学模拟试题

2023年高考数学模拟试题

其他用户还读了