厩御窗固。
本试题严禁**或复印）
０１１年高考数学模拟试题（全国理科卷）
口赵绪昌。．必要而不充分条件。
．充分必要条件。
．既不充分也不必要条件。
．已知 １是方程ｘｌｇ一２０１的根，ｘ２
是方程ｚｉ（的根，则ｘｌｘ
作者简介。赵绪昌，特级教师，四川省宣汉县教研室。
．设ｒｌｌ是不同的直线，口，，是不。
同的平面，则下列命题中正确的序号是（
主任。教学成果和主持的科研项目多次获奖，发表**多篇。
一。若１ｔｉ上ａ，ｎ口，则ｉｔｉ上ｎ②若口上７，上ｙ，则ａ上ｐ
选择题（本大题共１２小题，每小题 ５
若ｍ／／口，ｎ／口，则ｉｔｉ若ａ／／卢，／／上ａ则ｉｔｉ上ｙ
．①和②．②和③
分，共６ｏ分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
．设集合ａ一｛ｚｌ一ｚ≤０集合ｂ一则ａ、ｂ满足（）
．③和④ｄ．和④
为了得到函数ｙ＝ｓ一詈）的图。
象，可以将函数ｙ＝ｃ的图象（
．ａ—且ｂａ
．已知数列｛）是等比数列，且口一。
一。．向右平移詈个单位长度。
．向右平移要个单位长度，口５一一１６，贝ⅱ口３一（．一４
．１６一４或４
．向左平移詈个单位长度。
．向左平移要个单位长度。
．函数，（ｚ在定义域ｒ内可导，若，（ｚ一。
．若ｘ，ｙ则“ｚ＞或 ＞２是“ｚ＋
３”的（．充分而不必要条件。
凰御留固。一ｚ），且（一１）／若口一，（０
其中ｍ为整数），则叫做离实数ｘ最近的。
整数，记作｛）．在此基础上给出下列关于函数厂（）一ｚ一｛ｘ）的四个命题：
ｙ一 （ｚ的定义域是ｒ，值域是。
厂（｛）一厂（３）则口、ｂ、的划、关系是（）
．口口。．６＞口＞ｃｄ口＞ｆ＞
．由曲线ｚ。－一ｌｚ 围成的图形的面积等于（丌。
点（忌，０）志∈ｚ）是ｙ＝＝的图像的对称中心；
３．７一２ｄ．
函数ｙ—ｆ的最小正周期为１；
．形如４５１这样的数称为“波浪数”，函数一，（）在（一专，导］上是增函。
数。即十位数字，千位数字均比它们各自相邻的数。
字大，则由可构成的数字不重复的五位“波浪数”的概率为（
则真命题的个数是（
．丢。．嘉。
二、填空题（本大题４个小题，每小题４分，共．１６分，只填结果，不要过程）
ｏ．设定义域在ｒ上的函数厂 ）存在反函数厂 （ｚ且对任意的ｚ∈ｒ恒有厂（ｚ）一ｚ）一１，则厂 （２一 ）＋厂 （ｚ一。
３＿．设若二次函数厂（）＝一２（户一２）
一２ 一 ＋ｌ在区间［一１，１内至少有一个。
值ｃ，使ｆ（ｃ则实数ｐ的取值范围。
为—０１０的值为（
４．已知四面体ａｂｃ的三组对棱分别相等，且值分别为、、，则它的外接球的表面积为—
．不能确定与ｚ的值有关。
１．在单位圆ｏ中，ｏａ是两个夹角。
５．已知双曲线一一的左、右焦点分别为ｆ 、若在双曲线的右。
为１２０的向量，ｐ为单位圆上一动点，设ｏｐ
ｍｏａ记ｍ＋ｎ的最大值为ｍ，最小值为ｎ，则ｍ—ｎ的值为（
支上存在一点ｐ，使得则双曲线的离心率的取值范围为——
６．已知集合ｍ是同时满足下列两个性。
质的函数厂（ｚ）的全体：①厂（ｚ）在其定义域上是单调函数；②在厂（ｚ）的定义域内存在闭区。
２．给出定义：若一１＜ｚ丢ｎｅａ使其值域为［号，ｂ］若函数 （）
圃。凰御雷固。
一。＿ｒ＋则ｔ的取值范围。
８．（本小题１２分）某电视台举行电视奥。
为—运知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分。为。
三、解答题（本大题６个小题，共７４分，必。
了增加节目的趣味性，初赛采用选手选一题答。
须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过。
一。题的方式进行，每位选手最多有５次选题答。
程）题的机会，选手累计答对３题或答错３题即终。
７．（本小题１２分）已知向量仇一（√３
止其初赛的比赛，答对３题者直接进入决赛一设函数厂（）一７７ｚ
答错３题者则被淘汰。已知选手甲答题的正。
１）求厂（）的最小正周期与单调递减。
确率为。区间；
１）求选手甲可进入决赛的概率；
２）在△ａｂ中，ａ，分别是角ａ、ｂ的对边，若厂（ａ）一的面积为（２）设选手甲在初赛中答题的个数为 ，２求口的值。
试写出的分布列，并求的数学期望。
属翩留囤。９．（本小题１２分）如图，在多面体ａｂｃ
０．（本小题满分１２分）已知椭圆 ＋萼。
ｅ中，ｄｂ平面且△ａｂ
是边长为２的等边三角形，ａｅ与平面。
１的右焦点为ｆ，过ｆ的直线（非轴）交椭。
圆于ｍ、ｎ两点，右准线ｌ交ｘ轴于点ｋ，左顶。
ｂｄｅ所成角的正弦值为 。
点为ａ。１）求证：ｋｆ平分／ｍｋ
１）**段ｄｃ上是否存在一点ｆ，使得。
ｆｊ一面ｄｂｃ若存在，求线段ｄｆ的长度，若不存在，说明理由；
２）直线ａｍ、分别交准线ｚ于点ｐ、，设直线ｍｎ的倾斜角为 ，试用表示线段ｐｑ的长度１ｐｑ并求ｆｐｑ的最小值。
２）求二面角ｄ—ｅ的平面角的余弦值。
田。原御留囤。
１．（本小题满分１２分）已知函数，（）一。
的图象经过点ａ（２和ｂ（５记口３ｆ（
２．（本小题满分１４分）定义ｆ（ｘ一。
１＋ｘ其中。
１）令函数厂（）一其图象为曲线ｃ，若存在实数ｂ使得曲线ｃ在ｚ。（一４＜ 一１）处有斜率为一８的切线，求实数口的取值范围；
１）求数列｛１２的通项公式；
２）设一参若。
ｍ（ｍ求ｍ的最小值；
２）令函数ｇ（ｚ一一１）ｅ是否存在实数 。∈使曲线 —ｇ在点ｘ￣－处的切线与ｙ轴垂直？若存在，求出 。的值；若不存在，请说明理由。
３）求使不等式（１＋击）（１
１＋ 户。最大实数ｐ。
对一切 ｅｎ均成立的。
３）当 ，ｙ且 ＜ 时，求证：ｆ（
贵任编辑李婷婷。
厩御留固。０１１年高考数学模拟试题（全国理科卷）
参***及解析。
口赵绪昌。一。
选择题。．ｂ解析：集合一丢）。一１（≥集合故选ｂ。
此时曲线围成图形在第一象限的面积为 １＋解析：口；一１６，而口、口５符号，由曲线围成图形的对称性可得其面积为。
相同，所以口ｓ一一４。
．ｂ解析：由于“ ≤且ｙ≤２可以。
（丢＋ ）一２＋丌。
推出“ｚ＋反之不能推，故选ｂ。
．ｄ解析：当十位与千位是４或５时，４．解析：显然ｘ ，分别是方程ｉｇｘ
共有ａ；ａ一１２个；当千位是５，十位是３时，一。
卫和１０一卫的解，而函数ｙ一１
万位只能是４，此时有２个；当千位是３，十位是５时，末位只能是４，此时有２个，故所求概。
与一１ 互为反函数，所以ｚ 一。
所以。率为。一 ２
解析：令厂 （２一 ）一。
厂 （ｚ一２０１一 ，贝０厂（ｍ）一２０１一ｚ，．解析：因为由—ｓｉ一詈）得，（ 一ｚ一２０１所以厂（）＋厂（）：由。
—ｃ。擎），选ｂ。
题意知ｍ一一 ，所以ｍ＋ 一０。
１．ｂ解析：以０为原点，ｏａ所在直线７．ｂ解析：由，（ｚ一ｆ（２一ｚ）得ｙ一为ｚ轴建立平面直角坐系，则。
＝：（的图象关于ｘ一１对称，又由（ｚ一。
），（得，ｘ＞时／（ｚ或ｘ＜
一１，２一（ｃ。的），由。
时 （ｚ所以厂（ｚ）在（一∞，１上递。一。
ｍｏａ咒一＋咒ｏｂｃ一 — 一 —，一一。
５，增，又厂（３）一ｆ（－由一１＜０去得。
所以ｍ＋挖一 ｓｉ一２ｓｉ詈），厂（３）厂（ｏ）厂（丢），故选ｂ。
故ｍ一２，ｎ一一２，所以ｍ—ｎ一４。
．ａ解析：当ｚ≥０时，曲线为：
２．ｃ解析：画出厂（ｚ）的图象就可得。
属御窗囤。、②、均正确，④错误，故选ｃ。
△一（一２）一４（１
二、填空题。
３．（一３，号）解析：采用补集思想先。
从而ｏ＜ 百１
考虑反面，若［一１，１内无值满足厂（ｃ）三、解答题。
则－厂（）在［一１，１内径有厂（ｚ）于是。
７．解：（１一（√３一一。
（－１且厂（１）此时ｐ≤一３或ｐ≥
一。—＋一。
要，所以所求实数ｐ的取值范围。
）一优咒一一。
是（一３，号）。
ｓｉｎ詈丌令。
４．４解析：将四面体ａｂｃ放在长方体中，使长方体的面对角线长分别为该四面２ｋｌ詈≤２忌７ｒ＋警（忌∈ｚ）体的对棱。
５．（解析：由双曲线定义得１ｐｆ
忌丌＋詈≤ｚｂ愚丌＋号丌（ｋｅ一。
ｐｆ。一２ａ，又ｌｐｆ一３ｉｐ所以。
的单调递减区间为［专，忌７ｆ＋专 ，ｐ一口，由ａ≥ｃ一口得ｐ≤２故１＜８
２）由，（ａ一４得。
６．（解析：因为 （ｚ在ｅｌ，
厂詈）＋３上是增函数，所以 （）在闭区间［口，６］上是．
增函数，（ｚ的最小值为 （口）。（的最大。
ｉｎ（詈）一１
（口）＝＝又ａ ｎ的内角。
值为 （６从而．｛【砌）一。
号，则口，ｂ是方程＜ ’詈一。
（）一专，即。
一专的两个不相等。
．．ａ一争。ｓ△艘一 ，６扣ｓｉｎ
一。的实数根，所以是方程一鲁一。一。
ｃ一２．。口。一ｂ ＋一２ｂｃ一４＋１
的两个不等的实根。
令、／／二了一ｍ，则 ：：丝一ｍ（≥
×２×丢一３，．口＝４－
８．解：（１选手甲答３道题进入决赛的。
），即方程ｍ 一２ ＋一０在［１，
有两个不同的实根，所以。
概率为（２）一 ；
厩御窨固。选手甲答４道题进入决赛的概率为。
；（２詈一 ；
选手甲答５道题进入决赛的概率为。
取ｃｄ的中点为ｆ，ｂ的中点为ｈ，显然ａｅｆ为平行四边形，所以ｅｆ∥
２）。号）吾＝＝＝
上。面ｄｂｃ
选手甲可进入决赛的概率乡一。
一。存在ｆ为ｃｄ中点，ｄｆ时，使得ｅｆ
上面ｄｂｃ一一。
２）依题意，的可能取值为３，４则有。
２）如图建立空间直角坐标系，则从而。
ｅ一（２，一３）一（号）。＋一丢，一４）一ｃｉ（号）｛导＋ｃ；专）。一。
＝＝＝一 （詈）（１
一 ８。因此，的分布列为：
ｃ＝（一１，√一一１）。
设 （ｚ为平面ｂｃｅ的法向量，１ｂ一２ｘ＋户１
则｛一ｌ一。
２１ｅ一ｚ＋√
一可以取。（１９一 ，一２），的数学期望雎一３１＋
一。一。
设 ｚ一（ｚ，为平面ｃｄｅ的法向量，７
９．解：（１取ａｂ的中点ｇ，连结ｃｇ，则ｃｇ上ａｂ，又ｄｂ上平面ａｂｃ可得ｄｂ－所以。
＿ｎａ所 ｎｃ一器一 ，ｂ一。
ｇ＝，故ｃｄ一２
凰寄囤。ｅ一２ｚ—一。
则。取ｎ２一。
４，６设直线ｍｎ的方程为ｘ＝＝由。
一一。ｃ＝一ｚ＋√
因此，ｃｏ因此，ｎ。一２＞一■ 一一一一，等一。
２一一 ：ａ
故二面角ｄ—ｅ的余弦值为 。
０．解：（１设直线ｍｎ的方程为ｚ—ｍ一３ｍ２
１，设ｍ、ｎ的坐标分别为。
则ｌｐｑ一 ６ｙ一 ６ｙ２），一。
二±二兰 ］
由＋警一 ３ｑ
璺二。ｚ＝一 ：ａ二３ｍ
＋—一４＋３十。—３二２＋４十。
一３ｍ２一。
而。设ｋｍ和ｋｎ的斜率分别为ｋ 、显然又直线ｍｎ的倾斜角为０，则ｍ—ｃ只需证ｋ１＋忌２—０即可。
（ｏ，一６厕一，．
ｋ点为（４，志 ＋尼ｚ一。
一号时，ｌｐ一６。
茜（ｚ］一。
１．解：（１由题意得一１解。一２
而一（ｍｙ口一２
得＿｛ｉ一一１一２ｍ—
厂（ｚ）一ｌｏｇ一１）以一３１曜３‘
一４一。
ｎ一１，７
一０，即是１＋忌ｚ一０，得证。
２）由（１）得ｂ 一。
２）由ａ、ｍ三点共线可求出ｐ点的坐。
一。标为（４，参＋ ＋
ｎ——由ａ、ｎ三点共线可求出ｑ点坐标为。
厩留固。一。参。
一。ｎ一１
计。志，ｚ＋
一②得。丢一 ＋参＋ ＋参。一。干酉。
一，＝＝二。
井。即ｆ（
＋（＋壶＋．．一是随的增大而增大，二。
（ ）的最小值为ｆ（１一，．‘
】２ 一】：＝一２一２—一＿ 广２升’
号卿ｐ一一号 。
２．解：（１厂。
＝＝３一刍一一３一下２ｎ＋
１））一设曲线ｃ在一１）处有斜率为一８的切线，又由题设知。
设厂（）一 ２ｎ
贻一面２ｎ＋一。
存在实数ｂ使得。
一一８①一。
丢＋≤丢＋吉＜１，一。
＜ ｏ一１②有解，得，（）一孥 ，∈随的增大而。
减小，ｌ随，ｚ的增大而增大。
８＋口。由①得６：：一８—３一２ａｘ代人③得一。
一口ｚｏ－当，ｚ—时，一３，．
又＜ｍ（恒成立，．。一３。
由 ２ｚ口 。＋
有解，一４＜ｚ一１
３）由题意得 ≤（
得一４）＋或２×
一１）＋口×（一１）＋麦）对 ∈ｎ恒成立，ｅｆ一 ＝ 彳。
．．口＜１０或口＜，１口＜１０
眦一１）＋一（１一１）＋眦一１）（
１＋口１），则。（７ｚ一。
１一 ＋（一一１）
属御窨固。设 （ｚ一１＋ｌ眦一１则 （ｚ一～ １
ｚ．２一。（ｚ）一ⅱｘｌ
ｚ一１十。
一。当ｘｅ［时，ｈ 又令 （ｚ一南一。
（ｚ）为增函数，因此＾（ｚ在区间［１，上。
一～而１一南。
的最小值为ｉｎｌ一０，即＋ｌ眦～１≥
ｚ）在［ｏ，上单调递减，当。ｌ眦０—１
当ｘ＞ｏ时，有 （）一０，≥
当ｚ≥１时，有 （ｚ（ｘｏ一。
ｚ）在［１，上单调递减，．
当 １≤时，有。
曲线 ＝＝在点，２７处的切线与！±
轴垂直等价于方程ｇ （一０有实数解。
而ｇ （即方程ｇ （一０无实。
数解。１＋３故不存在实数ｚ。∈使曲线ｙ—
当ｚ，ｙ且ｘ＜ｙ时，ｆ（
（ｚ）在点ｚ— 处的切线与ｙ轴垂直。
３）证明：令。
一。ｚ≥１由。
责任编辑李婷婷。瓯砸。
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