数学试卷（理工类）
一、选择题。
1、已知，则复数（）
a. b. c. d.
考点：复数的运算。
答案：a2、已知全集，集合，则下图阴影部分表示的集合是。
a.[-1,1） b.(-3,1 c.(-3)[-1,+）d.(-3,-1)
考点：集合之间的简单运算。
答案：d3、在单调递减等比数列中，若，则（）
a.2 b.4 c. d.2
考点：数列的运算。
答案：b4、已知函数，若在上任取一个实数，则不等式成立的概率是（ ）
考点：几何概型。
答案： 5、执行如右图所示程序框图，则输出 （
考点：读程序框图。
答案： 6、已知函数的最小正周期是，若将其图像向右平移个单位后得到的图像关于原点对称，则函数的图像（ ）
、关于直线对称关于直线对称。
、关于点对称关于直线对称。
考点：三角函数图像及性质。
答案： 7、已知在圆内，过点e（1,0）的最长弦和最短弦分别是ac和bd，则四边形abcd的面积为。
ab、6c、 d、2
考点：圆与直线位置关系。
答案：d8、已知某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是。
a、16b、32c、32d、48
考点：由三视图求体积。
答案：c9、已知实数满足，则函数的零点所在的区间是。
a. b. c. d.
考点：指数函数，函数的零点问题。
答案：b10、已知实数满足条件若目标函数的最小值为5，其最大值为。
a. 10 b. 12 c. 14 d. 15
考点：线性规划。
答案：a11、已知点为双曲线的对称中心，过点的两条直线与的夹角为，直线与双曲线相交于点，直线与双曲线相交于点，若使成立的直线与有且只有一对，则双曲线离心率的取值范围是。
a. b. c. d.
考点：双曲线离心率的求解。
答案：a12、已知数列的通项公式为，其前项和为，则。
a. b. c. d.
考点：数列前项和的求解。
答案：d二、填空题。
13.已知向量满足，且，则的夹角为 。
答案： 14、已知展开式的二项式系数之和为64，则其展开式中常数项是考点：二项式定理。
答案：60
15、已知在直角梯形中，将已知在直角梯形沿折叠成三棱锥，当三棱锥体积取最大值时其外接球的体积为。
考点：球的内切问题。
答案： 16、已知定义在r上的奇函数满足，数列的前n项和为，且，则。
考点：构造数列和函数的对称性及周期性。
答案：3三、解答题。
17、已知分别是所对的边，且。
ⅰ）若的面积等于，求；
ⅱ）若。解：（ⅰ由余弦定理得。
的面积等于，。4分。
联立解得。6分。
8分。当。9分。
当由正弦定理得，联立，综上所述，。12分。
某工厂为了检查一条流水线的生产情况，从该流水线上随机抽取40件产品，测量这些产品的重量（单位：克），整理后得到如下的频率分布直方图（其中重量的分组区间分别为，，，
（）若从这40件产品中任取两件，设x为重量超过505克的产品数量，求随机变量x的分布列；
（）若将该样本分布近似看作总体分布，现从该流水线上任取5件产品，求恰有两件产品的重量超过505克的概率。
解：）根据频率分布直方图可知，重量超过505克的产品数量为。
由题意得随机变量x的所有可能取值为 0,1,2，
随机变量x的分布列为。
）由题意得该流水线上产品的重量超过505克的概率为0.3
设y为该流水线上任取5件产品重量超过505克的产品数量，则。
故所求概率为。
19、（本小题满分12分）
如图，在斜三棱柱中，侧面底面abc，侧棱与底面abc的所成角为，，底面abc是边长为2的正三角形，点g为的重心，点e在上，且be=.
1）求证：；
2）求平面与底面abc所成锐角二面角的余弦值；
解析：1）证明：连接，并延长交bc于点f，连接，2）证明：
过点作垂足为o，连接oc,点o是ab 的中点，以o为圆心，分别以oc，ob，oa为x，y，z轴建立如图空间直角坐标系o-xyz，由题意可得：a（0，-1,0），b（0,1,0），c（，0,0），（0,0，），0,2，），设n=（x,y,z）是平面的一个法向量，则。
令，则。由（1）知是平面abc的一个法向量，设平面与底面abc所成锐二面角为，则有：
20、已知椭圆的左右焦点其离心率为，点为椭圆上的一个动点，内切圆面积的最大值为。
1)求a,b的值。
2)若是椭圆上不重合的四个点，且满足。
求的取值范围。
解析：（1）当为椭圆上下顶点时内切圆面积的最大值设内切圆半径，2）直线垂直相交于点由（1）椭圆方程。
直线有一条斜率不存在时。
当斜率存在且不为0时，设方程则是方程组的两组解。
方程同理。设。
由①②的取值范围。
21、已知函数。
i）若当时，求的单调区间；
ii）若，求的取值范围。
解：i） 由题意得，当时，则，令，则令，则；
的单调减区间是（0,1），单调增区间是。
ii）①当时，，显然符合题意；
②当时，当时，不符合题意；
当时，则，令，则存在，使得，即，令，则；令，则，综上所述，实数的取值范围。
22.选修4-1：几何证明选讲。
如图，已知点是以为直径的半圆上一点，过的直线交的延长线于，交过点的圆的切线于点，，.
1）求证：直线是圆的切线；
2）求线段的长。
答案：（1）证明：连接， 是圆的切线，
又，直线是圆的切线；
2）设。是圆的切线，
由（1）得，直线是圆的切线，23. 选修4-4：坐标系与参数方程。
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（其中为参数），点是曲线上的动点，点在曲线上，且满足。
1）求曲线的普通方程；
2）以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线与曲线、分别交于、两点，求。
答案：（1）设。
点在曲线上，曲线的普通方程为；
2）曲线的极坐标方程为。
将代入得， 的极坐标为，曲线的极坐标方程为。
将代入得，的极坐标为，24.选修4-5：不等式选讲。
已知函数。ⅰ）当时，解不等式；
ⅱ）若，求的取值范围。
解（ⅰ）当时，2分。
其图像如图所示，与直线相交于点4分。
不等式的解集为， 5分。
7分。当。
当。当10分。
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