2011届高考数学**押题卷——北京卷（理4）
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．在复平面内，复数对应的点位于
2．下列四个命题中，假命题为。
3．已知a>0且a≠1，函数，，在同一坐标系中的图象可能是。
4．参数方程为参数和极坐标方程所表示的图形分别是。
5．由1,2,3,4,5组成没有重复数字且2与5不相邻的四位数的个数是。
6．已知函数的图象如图所示，则该函数的解析式可能是。
本题就是考查正弦函数的图象变换。最好采用排除法。考查的关键是a，ω，每一个字母的意义。
7．已知直线l： (a，b不全为0)，两点，，若，且，则。
本题就是考查线性规划问题。关键是1）的含义：点在直线的同侧；2）的含义：点到直线的距离的大小关系。
8．已知函数， (a>0)，若，，使得f(x1)= g(x2)，则实数a的取值范围是。
本题虽然是一道小题，但完全可以改成一道大题，处理的关键是对“任意”、“存在”的理解。
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．圆c：的圆心到直线3x+4y+14=0的距离是 ．
10．如图所示，db，dc是⊙o的两条切线，a是圆上一点，已知。
d=46°，则∠a= ．
11．函数的最小正周期为 ，最大值。
为 ． 考查的目的是没考三角，12．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ．
13．如果执行右面的程序框图，那么输出的a =_
14．如图所示，∠aob=1rad，点al，a2，…在oa上，点b1，b2，…在ob上，其中的每一个实线段和虚线段的长均为1个长度单位，一个动点m从o点出发，沿着实线段和以o为圆心的圆弧匀速运动，速度为l长度单位／秒，则质点m到达a3点处所需要的时间为__秒，质点m到达an点处所需要的时间为__秒．
本题考查了弧度制的定义，数列的基础知识。解题关键是由特殊到一般，通过对特殊情况的观察，就可得到应进行分类讨论。
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15.（本小题共13分）
已知等差数列的前项和为，a2=4， s5=35．
ⅰ）求数列的前项和；
ⅱ）若数列满足，求数列的前n项和．
本题是由下面的题经过改编后得到的，可作为练习。
已知等比数列中，a2=9， a5=243．
ⅰ）求数列的通项公式an；
ⅱ）若数列满足求数列的前100项的和。
ⅰ）通项公式。
ⅱ）因为等比数列，所以偶数项构成首相为a2=9，公比为32=9的等比数列。
因为，所以奇数项构成首项为1，公差为2的等差数列。
所以数列的前100项的和是。
若再增加难度，可将100改成n。
16.（本小题共14分）
张先生家住h小区，他在c科技园区工作，从家开车到公司上班有l1，l2两条路线（如图），l1路线上有a1，a2，a3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；l2路线上有b1，b2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，．
ⅰ）若走l1路线，求最多遇到1次红灯的概率；
ⅱ）若走l2路线，求遇到红灯次数的数学期望；
ⅲ）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助张先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由．
关于概率统计问题，几次考查都没有将概率与统计图表结合起来，请老师们注意，在复练时要有意识的进行练习。
17.（本小题共13分）
已知平行四边形abcd中，ab=6，ad=10，bd=8，e是线段ad的中点．沿bd将△bcd翻折到△，使得平面⊥平面abd．
ⅰ）求证：平面abd；
ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
ⅲ）求二面角的余弦值．
本题重点考查的是翻折问题。在翻折的过程中，哪些是不变的，哪些是改变的学生必须非常清楚。
18.（本小题共13分）
已知函数．ⅰ）若在处取得极值，求a的值；
ⅱ）求函数在上的最大值．
19.（本小题共14分）
已知抛物线p：x2=2py (p>0)．
ⅰ）若抛物线上点到焦点f的距离为．
ⅰ）求抛物线的方程；
ⅱ）设抛物线的准线与y轴的交点为e，过e作抛物线的切线，求此切线方程；
ⅱ）设过焦点f的动直线l交抛物线于a，b两点，连接，并延长分别交抛物线的准线于c，d两点，求证：以cd为直径的圆过焦点f．
20.（本小题共13分）
用表示不大于的最大整数．令集合，对任意和，定义，集合，并将集合中的元素按照从小到大的顺序排列，记为数列．
ⅰ）求的值；
ⅱ）求的值；
ⅲ）求证：在数列中，不大于的项共有项．
参***。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15.（本小题共13分）
已知等差数列的前项和为，a2=4， s5=35．
ⅰ）求数列的前项和；
ⅱ）若数列满足，求数列的前n项的和．
解：（ⅰ设数列的首项为a1，公差为d．
则5分。 前项和7分。
（ⅱ）且b1=e8分。
当n≥2时，为定值10分。
数列构成首项为e，公比为e3的等比数列11分。
13分。数列的前n项的和是．
16.（本小题共14分）
张先生家住h小区，他工作在c科技园区，从家开车到公司上班路上有l1，l2两条路线（如图），l1路线上有a1，a2，a3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；l2路线上有b1，b2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，．
ⅰ）若走l1路线，求最多遇到1次红灯的概率；
ⅱ）若走l2路线，求遇到红灯次数的数学期望；
ⅲ）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助张先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由．
解：（ⅰ设走l1路线最多遇到1次红灯为a事件，则。
4分。所以走l1路线，最多遇到1次红灯的概率为．
ⅱ）依题意，的可能取值为0，1，25分。
8分。随机变量的分布列为：
10分。ⅲ）设选择l1路线遇到红灯次数为，随机变量服从二项分布，所以12分。
因为，所以选择l2路线上班最好14分。
17.（本小题共13分）
已知平行四边形abcd中，ab=6，ad=10，bd=8，e是线段ad的中点．沿直线bd将△bcd翻折成△，使得平面⊥平面abd．
ⅰ）求证：平面abd；
ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
ⅲ）求二面角的余弦值．
证明：（ⅰ平行四边形abcd中，ab=6，ad=10，bd=8，沿直线bd将△bcd翻折成△
可知cd=6，bc’=bc=10，bd=8，即。
故． …2分。
∵平面⊥平面，平面平面=，平面，∴平面． …5分。
ⅱ）由（ⅰ）知平面abd，且，如图，以d为原点，建立空间直角坐标系6分。
则，，，e是线段ad的中点，，．
在平面中，设平面法向量为，，即，令，得，故8分。
设直线与平面所成角为，则。
9分。 直线与平面所成角的正弦值为10分。
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