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2023年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案。
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。
1、设函数f ( x)在（-
+）连续，其2阶导函数f(x)的图形如下图所示，则曲线yf ( x)的。
拐点个数为（）
a）0（c）2【答案】(c)
b）1（d）3
考点】拐点的定义【难易度】★★
详解】拐点出现在二阶导数等于数异号，因此，由。
0，或二阶导数不存在的点上，并且在这点的左右两侧二阶导。
f (x)的图形可知，曲线yf ( x)存在两个拐点，故选。c).x
2、设y1e2 x2
xe是二阶常系数非齐次线性微分方程。
xy ayby ce的一个特解，则（）（a）a（c）a
3,b3,b
1,c2, c
1.（b）a（d）a
3,b3,b
2, c2, c
答案】(a)
考点】常系数非齐次线性微分方程的解法【难易度】★★详解】
1e2x,1ex为齐次方程的解，所以2
为特征方程。
ab 0的根，从而。
xa123,b1 2 2,再将特解yxe代入方程y 3y
x2 yce得：c 1.
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n3、若级数。
n 1an条件收敛，则x
3与x3依次为幂级数。
nanx 1n 1的：
a）收敛点，收敛点（c）发散点，收敛点【答案】(b)
b）收敛点，发散点。
nd）发散点，发散点。
考点】级数的敛散性【难易度】★★
详解】因为。
an条件收敛，故x2为幂级数。n 1an
n 1x 1的条件收敛点，进而得。
anx1的收敛半径为。n 1n
1，收敛区间为。
0,2，又由于幂级数逐项求导不改变收敛区间，故。
nanxn 1
n1的收敛区间仍为。
0,2，因而x
3与x3依次为幂级数。n1n
nanx 1的收敛。
点、发散点。
4、设d是第一象限中曲线2xy在d上连续，则。
1,4 xy 1与直线y
x, yd4
3x围成的平面区域，函数f ( x, y)
1sin 2
f (x, y)dxdyd
1sin 21a）d
f (r cos , r sin)rdrb）
2sin 2
c）dsin 2
f (r cos ,r sin)drd）d
2sin 2
1sin 21
f (r cos ,r sin)rdr
f (r cos , r sin )dr
2sin 2
2sin 2
答案】(d)
考点】二重积分的极坐标变换。
难易度】★★详解】由yx得，4
由y3x得，3
1, r由2xy
1得，2rcossin
sin2由4xy
1得，4rcossin
1, r12sin 2
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1sin 2
12sin 2
word资料。可编辑。所以。d
f ( x, y)dxdy
df (r cos , r sin)rdr
1d5、设矩阵a 1
a，bd，若集合。
1,2}，则线性方程组。
ax b有无穷多个。
14a解的充分必要条件为（a）a（c）a【答案】(d)【难易度】★★
d, db）a（d）a
d,d考点】非齐次线性方程组的解法。
a, b
112a1dd
1a 11d1d 1 d 2
详解】1 4 a0 0 a 1 a 2
ax b有无穷多解。
a 1或ar( a)r( a,b)3
2且d1或d 2
6、设二次型f ( x1, x2, x3)在正交变换xpy下的标准形为2y1
y2y3，其中。
p (e1,e2, e3)，若q(e1, e3, e2)，则f ( x1, x2, x3)在正交变换xqy下的标准形为。a）2y1
2y2y3
b）2y1y2
y3c）2y1y2y3
d）2y1
y2y3
答案】(a)
考点】二次型【难易度】★★
y3且：pap 01
t详解】由xpy，故f
xax y(pttt
ap ) y 2y12y2
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qp00
所以。1 pc,qaq c(pap)c 0 110tttt
fxaxy(qaa) y2y1tt2y2
y3，故选(a)
7、若a, b为任意两个随机事件，则（a）p(ab) p( a)p(b)
b）p( ab) p( a)p(b)
c）p( ab)
p( a) p(b)
d）p( ab)
p(a)p(b)2
答案】(c)【考点】
难易度】★★详解】
p(a)p(ab), p(b)
2p(ab)
p(ab)p(a)p(b)p(ab)
p(a)p(b)故选（c）
8、设随机变量x,y不相关，且ex（a）-3【考点】【详解】
2, ey1, dx
d）53,则e x
x y 2b）3
c）-5答案】(d)
难易度】★★
exxy2e x
xy 2xex
exy 2ex
dx ex exey 2ex 5
二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分。请将答案写在答题纸指定位置上。
9、limx 0
ln cos xx
答案】考点】极限的计算。
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难易度】★★
x详解】lim
ln cosx
xlimx 0
ln(1cos x 1)x
limx 0
cos x 1x1x2
limx 0
xsin xx )dx
cos x答案】
考点】积分的计算。
难易度】★★
详解】sin x
x )dx 2
xdxcosx
xyz+x11、若函数z【答案】
z( x, y)由方程e
zcos x 2确定，则dz(0,1)
考点】隐函数求导【难易度】★★
详解】令f ( x, y, z)ez
xyzx cos x
2，则fxyz 1
sin x，fyxz，fzxy，又当x
0, y1时，z
0，所以。zfxfzx
1，zfyfzy
0，因而dz(0,1)
dx12、设。
是由平面xy
z 1与三个坐标平面所围成的空间区域，则。
x2 y3z)dxdydz
答案】考点】三重积分的计算【难易度】★★
详解】由轮换对称性，得。
wx+2y + 3zdxdydz
6òòòzdxdydz = 6ò0zdzòòwdxdy
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其中dz为平面z= z截空间区域w所得的截面，其面积为。
zdxdydz = 6
1- z).所以。
wx + 2y + 3z dxdydz = 6
z×(21 - zdz =3
z2z + z dz=
w13、n阶行列式0【答案】2n 1
考点】行列式的计算【难易度】★★
详解】按第一行展开得。
n+114、设二维随机变量( x ,y )服从正态分布n (1,0,1,1,0)，则p( xyy答案】
考点】难易度】★★详解】
x ,y) ~n (1,0,1,1,0)，x ~ n (1,1),y ~ n (0,1),且x ,y独立。
y 0x 1~ n(0,1)，p xy
p(x 1)y 0
p x10,y0 px10，y0
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三、解答题：15～23小题，共94分。请将解答写在答题纸指定位置上。解答应写出文字说明、证明。
过程或演算步骤。
15、（本题满分10分）设函数f (x)
xa ln(1x)bx sin x，g( x)
kx，若f ( x)与g ( x)在x
0是等价无穷小，求a，b，k值。
考点】等价无穷小量，极限的计算【难易度】★★
详解】f (x)
xaln(1x)bx sin x
x a xx1 a x
x3ab x2
xbx xx3!x
xax33
f ( x)与g (x) kx是等价无穷小。
1+aa2a
abkb
k16、（本题满分10分）
设函数在f (x)定义域i上的导数大于零，若对任意的x0的切线与直线x
i，曲线yf ( x)在点( x0, f ( x0))处。
x0及x轴所围成的区域的面积为。
4，且f (0) 2，求f (x)的表达式。
考点】微分方程。
难易度】★★
详解】如下图：
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xx0处的切线方程为l：y
f ( x0)( xx0)f (x0)
l与x轴的交点为：y
0时，xx0f (x0)，则abf ( x0)f ( x0)x x0，f ( x0)
因此，s1ab f (x0)2
1 f ( x0)f ( x0)4.即满足微分方程：
2 f ( x0)yy1
解得：y1xc.8
又因y(0)2，所以c
故yxy17、（本题满分10分）已知函数f (x, y)导数。
xyxy，曲线c : x
xy3，求f ( x, y)在曲线c上的最大方向。
考点】方向导数，条件极值【难易度】★★故。
详解】根据方向导数与梯度的关系可知，方向导数沿着梯度方向可取到最大值且为梯度的模。
2，gradf ( x, y)1y,1x
故f ( x, y)在曲线c上的最大方向导数为即就求函数z1y
1x)y
其中x, y满足x
yxy 3，1y)
1x)在约束条件x1y)
xy30下的最值。y
构造拉格朗日函数。
f ( x, y,)1x)
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令。fxfyf
x)2xy
y)2 yx
0可得(1,1), 1,1) ,2,2), 1,2)x
yxy30其中z(1,1)4, z(1,1)0, z( 2, 1) 9 z(1,2)
综上根据题意可知。
f ( x, y)在曲线c上的最大方向导数为。
18、（本题满分10分）
ⅰ)设函数u(x), v(x)可导，利用导数定义证明。
u(x)v( x)]'u '(x)v( x)u( x)v(x)'
ⅱ)设函数u1( x), u2( x)..un(x)可导，f (x)式。
u1( x)u2(x)..un(x),写出f ( x)的求导公。
考点】导数定义【难易度】★★详解】
u xv xlim
u xxv xxu xv(x)x0lim
x0xu x x u( x) v x x u x v( x x) v( x)
xux v( x) u x v( x)
f(x) u1(x) u2(x)
un( x)
u1(x) u2( x) un(x) u1( x) u2(x) un( x)
u1(x) u2( x)
un( x) u1( x) u2( x) u3( x) un( x)
u1(x) u2( x)un( x)u1( x) u2(x)
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un( x)u1( x) u2( x)
un( x)
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19、（本题满分10分）
已知曲线l的方程为。
z2xzx,2
y2,起点为a(0,2,0)，终点为b(0,2,0)，计算曲线积。分il
y z)dx ( zx
y)dy (x
y)dz
考点】曲线积分的计算【难易度】★★
xcos,y
zcos,y)dy (x
详解】曲线。
l的参数方程为。
2 sin,从。
到。i( y z)dx (zl
xy)dz
2 sin
cos)sin
2 sin2 coscos
2sinsin d
2 sin
sin 22
sinsin
d2 sind
sind
20、（本题满分11分）,设向量组。
3是3维向量空间。
的一个基，1
212k3，222，1(k
3,ⅰ）证明向量组。
3是。的一个基；,ⅱ当k为何值时，存在非零向量。在基。
3与基1,2
3下的坐标相同，并求出所有。
的。考点】线性无关，基下的坐标。
难易度】★★
详解】（ⅰ1,1,2,3)
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因为022k40，2k 0 k 1k1所以。
2,3线性无关，12
是。的一个基。p
ⅱ）设。020，p为从基2k0k1
t,123到基1,2,3的过渡矩阵，又设。
在基。1,2,3下的坐标为x( x1, x2, x3)，则在基1,2,3下的坐标为px，1
由xpx，得pxx，即(p
ee) x0由p02k
12k1k
k0，得k0，并解得x
kc 0,c为任意常数。
从而。c1c3, c为任意常数。
21、（本题满分11分）
20b3
设矩阵a3相似于矩阵b
2aⅰ）求a,b的值。
ⅱ）求可逆矩阵。
p，使得pap为对角阵。
考点】相似矩阵，相似对角化【难易度】★★
详解】由a1
3相似于ba10b03
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a1b1则02
解得a 4,b 5
1330b012a
3fa( )e a |
123123当1
1,( e a)
3特征向量1
523123101当3
5,(e a)
则特征向量。
1,所以p
101,得p1
ap 010
22、（本题满分11分）
设随机变量x的概率密度为f ( x)=2
xln 2x00x
对x进行独立重复的观测，直到第2个大于3的观测值出现时停止，记。
y为观测次数（ⅰ）求y的概率分布；（ⅱ求ey.【考点】
难易度】★★
详解】p x 3
2xln2dx
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ck1)(7)k 22
k1)(1)(7)
2k 2 k2,3,4...
）ey17
k (k 1)()
k 21k 2
k( k 1)()k 2
64k 28
设级数s(x)
k( k1)x
k 21xk
64k64k264 (1x)3
s() 16所以eys()16
823、（本题满分11分）
设总体x的概率密度为。
f ( x; )1x 1
其他。其中。
为未知参数，x1，x2...xn为来自该总体的简单随机样本。
ⅰ）求。的矩估计。
ⅱ）求。的最大似然估计。
考点】难易度】★★
详解】由题可得（
x1xexdxnnxixi
2ni 1ni 1
联合概率密度。
f ( x1, x2, ,xn; )
nxi1
ln fnln(1 )d ln f
n0，故取。d
min x1, x2, ,xn
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