2023年考研数学（三）真题解析。
一、选择题。
1)【答案】
详解】 ，所以是函数的可去间断点．
2)【答案】
详解】其中是矩形aboc面积，为曲边梯形abod的面积，所以为曲边三角形的面积．
3)【答案】详解】
故不存在．所以存在．故选。
4)【答案】
详解】用极坐标得
所以 .5)【答案】
详解】，.故均可逆．
6)【答案】
详解】记，则，又，所以和有相同的特征多项式，所以和有相同的特征值。
又和为同阶实对称矩阵，所以和相似．由于实对称矩阵相似必合同，故正确。
7)【答案】
详解】.8)【答案】
详解】 用排除法。 设，由，知道正相关，得，排除、
由，得 所以所以。 排除。 故选择。
二、填空题。
9)【答案】1
详解】由题设知，所以。
因为 ， 又因为在内连续，必在处连续。
所以 ，即。
10)【答案】
详解】，令，得。
所以 .11)【答案】
详解】12)【答案】
详解】由，两端积分得，所以，又，所以。
13)【答案】3
详解】的特征值为，所以的特征值为，所以的特征值为，，
所以。14)【答案】
详解】由，得，又因为服从参数为1的泊松分布，所以，所以，所以。
三、解答题。
15) 【详解】
方法一： 方法二：
16) 【详解】(i)
ii) 由上一问可知，所以
所以 .17) 【详解】 曲线将区域分成两。
个区域和，为了便于计算继续对。
区域分割，最后为。
18) 【详解】
方法一：(i) 由积分的性质知对任意的实数，令，则。
所以 ii) 由(1)知，对任意的有，记，则。
所以，对任意的，所以是周期为2的周期函数。
方法二：(i) 设，由于，所以为常数，从而有。 而，所以，即。
ii) 由(i)知，对任意的有，记，则。
由于对任意，，
所以 ，从而是常数。
即有 所以是周期为2的周期函数。
19) 【详解】
方法一：设为用于第年提取万元的贴现值，则。故 设
因为 所以 (万元)
故 (万元)，即至少应存入3980万元。
方法二：设第年取款后的余款是，由题意知满足方程。
即 (1)
1)对应的齐次方程的通解为
设(1)的通解为，代入(1)解得 ，
所以(1)的通解为
由，得 故至少为3980万元．
20) 【详解】(i)
证法一：证法二：记，下面用数学归纳法证明．
当时，，结论成立．
当时，，结论成立．
假设结论对小于的情况成立．将按第1行展开得。
故 证法三：记，将其按第一列展开得 ，所以
即 ii) 因为方程组有唯一解，所以由知，又，故．
由克莱姆法则，将的第1列换成，得行列式为。
所以 iii) 方程组有无穷多解，由，有，则方程组为。
此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为，所以方程组有无穷多解，其通解为。
为任意常数．
21)【详解】(i)
证法一：假设线性相关．因为分别属于不同特征值的特征向量，故线性无关，则可由线性表出，不妨设，其中不全为零(若同时为0，则为0，由可知，而特征向量都是非0向量，矛盾)
又。整理得：
则线性相关，矛盾。 所以，线性无关。
证法二：设存在数，使得1)
用左乘(1)的两边并由得。
1)—(2)得3)
因为是的属于不同特征值的特征向量，所以线性无关，从而，代入(1)得，又由于，所以，故线性无关。
ii) 记，则可逆，所以 .
22)【详解】
(i) ii)
所以 23) 【详解】(i) 因为，所以，从而．
因为 所以，是的无偏估计。
ii)方法一：，，
所以。因为，所以，有，
所以。因为，所以，又因为，所以，所以。
所以 .方法二：当时。
(注意和独立)
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