2023年考研数学（三）试题。
一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分)
1)设常数，则。
2)交换积分次序。
3)设三阶矩阵，三维列向量。已知与线性相关，则。
4)设随机变量和的联合概率分布为。
则和的协方差 .
5)设总体的概率密度为。
而是来自总体的简单随机样本，则未知参数的矩估计量为。
二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分)
1) 设函数在闭区间上有定义，在开区间内可导，则。
a)当时，存在，使；
b)对任何，有；
c)当时，存在，使；
d)存在，使得。【
2) 设幂级数与的收敛半径分别为与，则幂级数的收敛半径为。
a); b); c); d).【
3) 设是矩阵，是矩阵，则线性方程组。
a)当时仅有零解； (b) 当时必有非零解；
c)当时仅有零解； (d) 当时必有非零解。【
4) 设是阶实对称矩阵，是阶可逆矩阵。已知维列向量是的属于特征值的特征向量，则矩阵属于特征值的特征向量是。
a); b); c); d).【
5) 设随机变量和都服从标准正态分布，则。
a)服从正态分布； (b)服从分布；
c)和都服从分布； (d) 服从分布。【
三、(本题满分5分)
求极限。四、(本题满分7分)
设函数有连续偏导数，且由方程所确定，求。
五、(本题满分6分)
设，求。六、(本题满分7分)
设是由抛物线和直线及所围成的平面区域；是上抛物线和直线所围成的平面区域，其中。
1) 试求绕轴旋转而成的旋转体体积；绕轴旋转而成的旋转体积；
2) 问当为何值时，取得最大值？试求此最大值。
七、(本题满分7分)
1)验证函数满足微分方程。
2) 利用(1)的结果求幂级数的和函数。
八、(本题满分6分)
设函数在上连续，且。利用闭区间上连续函数性质，证明存在一点，使。
九、(本题满分8分)
设齐次线性方程组。
其中。试讨论为何值时，方程组仅有零解，有无穷多解？在有无穷多组解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解。
十、(本题满分8分)
设为三阶实对称矩阵，且满足，已知的秩。
1) 求的全部特征值；
2) 当为何值时，矩阵为正定矩阵，其中为三阶单位矩阵。
十一、(本题满分8分)
假设随机变量在区间上服从均匀分布，随机变量。
试求：(1)和的联合分布； (2).
十二、(本题满分8分)
假设一设备开机后无故障工作的时间服从指数分布，平均无故障工作时间为5小时。设备定时开关，出现故障时自动关闭，面在无故障的情况下工作2小时便关机。试求该设备每次开机无故障工作的时间的分布函数。
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