2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题。
一、填空题。
1) 设生产函数为， 其中q是产出量， l 是劳动投入量， k 是资本投入量，而。
a, α均为大于零的参数，则当q =1时k关于l的弹性为
2) 某公司每年的工资总额比上一年增加20％的基础上再追加2 百万。若以表示第t 年的。
工资总额(单位：百万元)，则满足的差分方程是___
3) 设矩阵且秩(a)=3,则k =
4) 设随机变量x,y 的数学期望都是2,方差分别为1和4,而相关系数为0.5.则根据切比雪夫不。
等式 .5) 设总体x服从正态分布而是来自总体x的简单随机样本，则随。
机变量服从___分布，参数为___
二、选择题。
1) 设函数f (x)的导数在x=a处连续，又则( )
a) x = a 是f (x)的极小值点。
b) x = a 是f (x)的极大值点。
c) (a, f(a))是曲线y= f(x)的拐点。
d) x =a不是f (x)的极值点， (a, f(a))也不是曲线y=f(x)的拐点。
2) 设函数其中则g(x)在区间(0,2) 内( )
a)无界 (b)递减 (c) 不连续 (d) 连续。
3) 设。其中a 可逆，则等于( )
a) (b) (c) (d).
4) 设a 是n 阶矩阵，α是n维列向量。若秩秩，则线性方程组( )
ax =α必有无穷多解ax =α必有惟一解。
仅有零解必有非零解。
5) 将一枚硬币重复掷n 次，以x和y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则x和y的相关系数等于( )
a) -1b) 0 (c) (d) 1
三 、(本题满分5 分)
设u= f(x,y,z)有连续的一阶偏导数，又函数y=y(x)及z=z(x)分别由下列两式确定：
和求。四 、(本题满分6 分)
已知f (x)在(∞,内可导，且求c的值。
五 、(本题满分6 分)
求二重积分的值，其中d 是由直线y=x, y= 1及x =1围成的平面区域。
六、(本题满分7 分)
已知抛物线(其中p<0,q>0)在第一象限与直线x+y=5相切，且此抛物线与x轴所围成的平面图形的面积为s.
1) 问p和q为何值时，s达到最大？ (2)求出此最大值。
七、(本题满分6 分)
设f (x)在区间[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且满足。
证明：存在ξ∈(0,1), 使得。
八、(本题满分7 分)
已知满足(n为正整数)且求函数项级数。
之和。九、(本题满分9 分)
设矩阵已知线性方程组ax =β有解但不唯一，试求：
1) a的值；
2) 正交矩阵q,使为对角矩阵。
十、(本题满分8 分)
设a为n阶实对称矩阵，秩(a)=n，是中元素的代数余子式(i,j =1,2,…,n)，二次型。
1) 记把写成矩阵形式，并证明二次型的矩阵为；
2) 二次型与的规范形是否相同？说明理由。
十一、(本题满分8 分)
生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重50 千克，标准差为5千克。若用最大载重量为5 吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977.
(2)=0.977,其中φ(x) 是标准正态分布函数).
十二、(本题满分8 分)
设随机变量x 和y 对联和分布是正方形g=上的均匀分布，试求随机变量u= 的概率密度。
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