2024年考研（数学三）真题试卷。
总分：60.00，做题时间：90分钟)
一、 选择题(总题数：9，分数：18.00)
1.一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）
解析：2.若函数f(x)= 在x=0处连续，则( )
分数：2.00）
解析：解析：=1／2a，∵f(x)在x=0处连续，1／2a=bab=1／2，选a．
3.二元函数z=xy(3-x-y)的极值点是( )
分数：2.00）
a.(0，0)
b.(0，3)
c.(3，0)
d.(1，1)√
解析：解析： =1，从而ac-b 2 ＞0，从而(1，1)为极值点．
4.设函数f(x)可导，且f(x)f"(x)＞0，则( )
分数：2.00）
c.|f(1)|＞f(-1)|√
d.|f(1)|＜f(-1)|
解析：解析：举特例，设f(x)=e x ，可排除bd；设f(x)=-e x ，可排除a，故选c．
5.若函数收敛，则k=(
分数：2.00）
a.1b.2
c.-1√d.-2
解析：解析：因为原级数收敛，所以1+k=0k=-1．选c．
6.设α为n维单位向量，e为n阶单位矩阵，则( )
分数：2.00）
t 不可逆√
t 不可逆。
t 不可逆。
t 不可逆。
解析：解析：选项a，由(e-ααt )α0得(e-ααt )x=0有非零解，故|e-ααt |=0． 即e-ααt 不可逆，选项b，由r(ααt )=1得αα t 的特征值为n-1个0，1故e-ααt 的特征值为n-1个1，2，故可逆．
7.已知矩阵a=，则( )
分数：2.00）
与c相似，b与c相似。
与c相似，b与c不相似√
与c不相似，b与c相似。
与c不相似，b与c不相似。
解析：解析：由(λe-a)=0可知a的特征值为2，2，1 因为2e-a=得r(2e-a)=1，∴a可相似对角化。
且a～由|λe-b|=0可知b特征值为2，2，1 因为2e-b=得r(2e-b)=2，∴b不可能相似对角化，显然c可相似对角化， ∴a～c，且b不相似于c．
8.设a，b，c为三个随机事件，且a与c相互独立，b与c相互独立，则a∪b与c相互独立的充分必要条件是( )
分数：2.00）
与b相互独立。
与b互不相容。
与c相互独立√
与c互不相容。
解析：解析：由题设知，p(ac)=p(a)p(c)，p(bc)=p(b)p(c)，由a∪b与c相互独立知，p(a∪b)c=p(a∪b)p(c)=p(ac)+p(bc)-p(abc) 而p[(a∪b)∩c] =p(ac∪bc) =p(ac)+p(bc)-p(abc) p(abc)=p(ab)p(c)，即ab与c相互独立．
9.设x 1 ，x 2 ，…x n (n≥2)为来自总体n(μ，1)的简单随机样本，记 x i ，则下列结论不正确的是( )
分数：2.00）
a. (x 1 -μ2 服从χ 2 分布。
b.2(x n -x 1 ) 2 服从χ 2 分布√
c. )2 服从χ 2 分布。
2 服从χ 2 分布。
解析：二、 填空题(总题数：7，分数：14.00)
10.二、填空题（分数：2.00）
解析：11.∫ sin 3 x+ )dx= 1．
分数：2.00）
填空项1正确答案：正确答案：π 3 ／2）
解析：解析：∫ sin 3 x+ )dx=2∫ 0 π 2∫ 0 π／2 πcost．πcostdt=2π 2 ∫ 0 π／2 πcos 2 tdt=2π 2 2． =3 ／2．
12.差分方程y t+1 -2y t =2 t 通解为y t = 1．
分数：2.00）
填空项1正确答案：正确答案：φ t =c．2 t + t．2 t）
解析：解析：由y t+1 -2y 1 =2 t λ=2，∴ c2 t 设y 1 * c 1 t2 1 ，则y 1+1 * c 1 (t+1)2 i+1 =2 t t2 i (c∈r)．
13.设生产某产品的平均成本 (q)=1+e -q ，其中产量为q，则边际成本为 1．
分数：2.00）
填空项1正确答案：正确答案：1+(1-q)e -q）
解析：解析：c= q=q(1+e -q ) c"(q)=1+e -q -qe -q =1+(1-q)e -q ．
14.设函数f(x，y)具有一阶连续偏导数，且 (x，y)=ye y dx+x(1+y)e y dy，f(0，0)=0，则f(x，y)= 1．
分数：2.00）
填空项1正确答案：正确答案：xye y）
解析：解析：f"k=ye y ，f" y =x(1+y)e y ，f(x，y)=∫ye y dx=xye y +c(y)，故f" y =xe y +xye y +c"(y)=xe y +xye y ，故c"(y)=0，由f(0，0)=0，即f(x，y)=xye y ．
15.设矩阵a= ，1 、α2 、α3 为线性无关的三维向量组，则向量组aα 1 、aα 2 、aα 3 的秩为 1．
分数：2.00）
填空项1正确答案：正确答案：2）
解析：解析：由a 1 ，a 2 ，a 3 ，线性无关，可知矩阵a 1 ，a 2 ，a 3 ，可逆，故r(aa 1 ，aa 2 ，aa 3 )=r(a(a 1 ，a 2 ，a 3 ))r(a)再由r(a)=2得r(aa 1 ，aa 2 ，aa 3 )=2．
16.设随机变量x的概率分布为p=1／2，p==a，p=b，若ex=0，则dx= 1．
分数：2.00）
填空项1正确答案：正确答案：9／2）
解析：解析：由归一性得 +a+b=1，再由ex=0得-1+a+3b=0 故a=b=1／4，故ex 2 =(2) 2 × 9／2，dx=ex 2 -(ex) 2 =9／2．
三、 解答题(总题数：10，分数：28.00)
17.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解析：
分数：2.00）
正确答案：(正确答案：dt，令x-t=u，则有)
解析：19.计算积分dxdy，其中d是第一象限中以曲线y=与x轴为边界的无界区域．
分数：2.00）
正确答案：(正确答案：)解析：
分数：2.00）
正确答案：(正确答案： =0 1 lnx(1+x)dx= ∫0 1 ln(1+x)dx 2 = ln(1+x)．x 2 | 0 1 -∫0 1 dx)=1／4．)
解析：21.已知方程=k在区间(0，1)内有实根，确定常数k的取值范围．
分数：2.00）
正确答案：(正确答案：令f(x)= k x∈(0，1) f(1)= 1-k 由题意可知(-k)＜0 2ln2．k 2 -(2-ln2)k+(1-ln2)＜0 即 ＜k＜1／2得证．)
解析：设a 0 =1，a 1 =0，a n+1 = na n +a n-1 )(n=1，2，3…)，s(x)为幂级数 a n x n 的和函数．（分数：4.00）
1).证明 a n x n 的收敛半径不小于1：（分数：2.00）
正确答案：(正确答案：由a n+1 = na n +a n-1 ) a n+1 -a n =-a n-1 -a n-2 ) a n =a n+1 + 由 =1，所以收敛半径r≥1．)
解析：2).证明(1-x)s"(x)-xs(x)=0(x∈(-1，1))，并求s(x)表达式．（分数：2.00）
正确答案：(正确答案：s"(x)= 1-x)s"(x)=(1-x) na n x n-1 = na n x n-1 = na n x n = n+1)a n+1 x n - na n x n = n+1)a n+1 -na n ]x n +a 1 x xs(x)= a n+1 x n ，所以 (1-x)s"(x)-xs(x)= n+1)a n+1 -na n -a n-1 ]x n +a 1 x 由a n+1 = na n +a n-1 )可知(n+1)a n+1 -na n -a n-1 =0，由a 1 =0，所以(1-x)s"(x)-xs(x)=0 解微分方程得s(x)= 由s(0)=a n =1 )
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