2023年考研数学三真题。
一选择题。1.已知当时，函数与是等价无穷小，则。
a） （b）
c） （d）
答案】考点分析】本题考查等价无穷小量的概念。
解析】此时分子极限不等于零，所以要求分母极限也不为零，故必有，即，故由，得，故选（c）
2. 已知在处可导，且，则。
ab）cd)
答案】考点分析】本题考查极限的计算。计算是应该将极限式凑成导数的定义的形式。
解析】故选（b）
3. 设是数列，则下列命题正确的是。
（a）若收敛，则收敛。
（b）若收敛，则收敛。
（c）若收敛，则收敛。
（d）若收敛，则收敛。
答案】考点分析】本题考查级数的收敛性。需要考生利用一些常见的结论。
解析】此题可用举反例法。（b），收敛，但发散。
c），收敛，但是发散。
d）,则收敛，但发散。
4. 设，则的大小关系是。
（a）（b）
（c）（d）
答案】考点分析】本题考查定积分的性质，直接将比较定积分的大小转化为比较对应的被积函数的大小即可。
解析】时，，因此。
故选（b）5. 设为3阶矩阵，将的第二列加到第一列得矩阵，再交换的第二行与第一行得单位矩阵。记， ,则。
ab）cd）
答案】考点分析】本题考查初等矩阵与初等变换的关系。直接应用相关定理的结论即可。
解析】由初等矩阵与初等变换的关系知，，所以，故选（d）
6. 设为矩阵，是非齐次线性方程组的3个线性无关的解，为任意常数，则的通解为。
ab）c） （d）
答案】考点分析】本题考查非齐次线性方程组的通解。
由线性方程组解的性质可知，，，均为的导出组的解，它们中的任意两个都可以作为的基础解系。又由于，可知为的一个特解。因此，的通解可表示为。故选（c）。
7. 设为两个分布函数，其相应的概率密度是连续函数，则必为概率密度的是。
ab）cd）
答案】考点分析】本题考查连续型随机变量概率密度的性质。
解析】检验概率密度的性质：；
可知为概率密度，故选（）。
8. 设总体服从参数为的泊松分布，为来自总体的简单随机样本，则对应的统计量， a）b）
c）d）
答案】考点分析】本题考查随机变量数字特征的计算。注意应用数学期望和方差的相关性质和公式。
解析】，可知。
可知。故选（d）
二、填空题。
9）设，则。
答案】考点分析】本题考查简单的极限与导数的计算。
解析】，则。
10）设函数，则。
答案】考点分析】本题考查二元函数全微分的计算。
解析】令，则，则，，故。
11）曲线在点处的切线方程为。
答案】考点分析】本题考查切线的计算。用隐函数求导的方法求出切线斜率，进而得到切线方程。
解析】对两边同时对求导得，，将代入得，故切线方程为。
12）曲线，直线及轴所围成的平面图形绕轴旋转所成的旋转体的体积为
答案】考点分析】本题考查旋转体的体积计算，直接代公式计算即可。
解析】：体积。
13）设二次型的秩为1，中行元素之和为3，则在正交变换下的标准为。
答案】考点分析】本题考查二次型的合同标准型。解题时要综合运用矩阵的特征值，特征向量，秩以及线性方程组的知识，综合性较强，但难度不大。
解析】：由于中行元素之和为3，故。
可知，为的特征值。又由于的秩为，可知为的重特征值，故在正交变换下的标准为。
14）设二维随机变量服从，则。
答案】考点分析】本题考查二维正态分布的性质。
解析】：由于，可知独立，故。
其中，故。三、解答题。
15．求极限。
答案】考点分析】本题考查极限的计算，需要综合应用等价无穷小替换及洛必达法则等方法。
解析】： 16.已知函数具有连续的二阶偏导数，是的极值，。求。
答案】考点分析】：本题综合考查偏导数的计算和二元函数取极值的条件，主要考查考生的计算能力，计算量较大。
解析】： 由于是的极值，可知。
故。17、求。
答案】考点分析】：本题考查不定积分的计算，从被积函数的形式看，主要应该用到分部积分法。
解析】：18. 证明恰有2实根。
考点分析】：本题考查方程组根的讨论，主要用到函数单调性以及闭区间上连续函数的性质。解题时，首先通过求导数得到函数的单调区间，再在每个单调区间上检验是否满足零点存在定理的条件。
解析】：令得。
当时， 时，
时， 是极小值点，是极大值点。
又， 而，
恰有2个实根。
答案】考点分析】：本题综合考查二重积分的计算和微分方程，具有一定的综合性，题目比较新颖。
解析】：；代入原方程可得。
两边同时求导得，整理得，解得，由得。
故， 20不能由线性表出。①求；②将由线性表出。
答案】：①考点分析】：本题考查向量的线性表出，需要用到秩以及线性方程组的相关概念，解题时注意把线性表出与线性方程组的解结合起来。
解析】：①由于不能由表示。
可知，解得。
②本题等价于求三阶矩阵使得。
可知。计算可得。
因此。21、为三阶实矩阵，，且。
1）求的特征值与特征向量（2）求。
答案】：（1）的特征值分别为1，-1，0，对应的特征向量分别为，，
考点分析】：实对称矩阵的特征值与特征向量，解题时注意应用实对称矩阵的特殊性质。
解析】：（1）
可知：1，-1均为的特征值，与分别为它们的特征向量。
可知0也是的特征值。
而0的特征向量与，正交。
设为0的特征向量。
有得。的特征值分别为1，-1，0
对应的特征向量分别为，，
其中， 故。
求：（1）的分布；
（2）的分布；
答案】：（1）
考点分析】：本题考查二维离散型分布的分布律及相关数字特征的计算。其中，最主要的是第一问联合分布的计算。
解析】：（1）由于，因此。
故，因此。再由可知。
同样，由可知。
这样，我们就可以写出的联合分布如下：
2）可能的取值有，，
其中，则有。
因此，的分布律为。
故。23.在上服从均匀分布，由与围成。
求边缘密度；②求。
答案】：（1）
考点分析】：本题考查连续型随机变量边缘分布及条件分布的计算，属于常规题型。先写出联合概率密度，再利用公式计算即可。
解析】：①平面区域如右图所示。由于在上服从均匀分布，不难得到的联合概率密度为。
则。故当时，。
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